Xem mẫu
- +−
ATH ×÷
VIET F NAM
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM TẬP SAN
Số 1 , tháng 1 năm 2022
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM
- CÁC BÀI VIẾT
CÁC KỸ NĂNG CĂN BẢN TRONG
BÀI TOÁN ĐẾM
TRẦN VĂN TRÍ
GV chuyên Hùng Vương, Bình Dương
Trong bài viết này tôi xin chia sẻ một số kỹ năng căn bản khi giải quyết
các bài toán đếm căn bản. Vì mục tiêu tôi hướng tới là các kỹ năng căn bản
nhất và gần gủi với giáo viên dạy toán phổ thông và học sinh nên một số bài
toán liên quan đến số học, liên quan phép đếm qua tương ứng, truy hồi,...
tôi không đề cập đến. Trong bài viết này các khái niệm quy tắc nhân, quy
tắc cộng, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp tôi không đề cập đến nên bạn đọc có
thể tham khảo trong sách giáo khoa lớp 11. Bài viết mang tính chất chia sẻ
kinh nghiệm bản thân nên chắc còn nhiều thiếu sót rất mong nhận được sự
đóng góp từ bạn đọc.
I – KỸ NĂNG CHIA TRƯỜNG HỢP TRONG KẺ BẢNG
Trong một số bài toán chọn đối tượng xảy ra một số trường hợp nhưng tương đối ít
ta sẽ chia trường hợp và tính trực tiếp. Ta thường kẻ bảng để quan sát cho thuận
lợi.
Ví dụ 1
Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn
công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có
bao nhiêu cách?
A. 120. B. 90. C. 219. D. 215.
LỜI GIẢI.
Nhận xét. Ta có hai phân môn phải chọn và ta chỉ cho ra ba người phải đủ
hai phân môn nên số trường hợp phải xét tương đối nhỏ.
Do đó cách tiếp cận chia trường hợp cụ thể phù hợp
- 2 TẠP CHÍ GIÁO VIÊN TOÁN
Nhà Toán Học Nhà Vật Lí
Số cách chọn
Nữ Nam Nam
1 1 1 3×5×4
2 1 C23 × 4
1 2 3 × C24
Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài là 60 + 12 + 18 = 90 cách.
Chọn đáp án B
II – KỸ NĂNG DÙNG PHẦN BÙ
Ví dụ 2
Đội văn nghệ của nhà trường gồm 5 học sinh lớp 12A, 6 học sinh lớp 12B. Chọn
ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn sao cho lớp 12A có ít nhất một học sinh có mặt trong đội?
LỜI GIẢI.
Nhận xét.
- Nếu ta tiếp cận bài toán trên bằng cách chia các trường hợp có một học sinh
12A, hai học sinh 12A,... Như vật ta chia làm 5 trường hợp trong trường hợp
này ta vẫn còn làm tốt. Nhưng nếu số học sinh cả hai lớp đều tăng lên và số
học sinh được chọn cũng tăng lên. Khi ấy ta đối diện bài toán nhiều trường
hợp.
- Nếu ta nhìn với khía cạnh phần bù thì bài toán khá đơn giản. Ta thấy cứ
chọn 5 học sinh bất kỳ thì chỉ có hai trường hợp. Trường hợp có học sinh 12A
và trường hợp không có học sinh 12A. Do đó kỹ năng áp dụng đếm phần bù
trong bài toán này khá hiệu quả.
Cụ thể như sau
Số cách chọn ra 5 học sinh bất kì trong 11 học sinh là C511 .
Số cách chọn ra 5 học sinh mà không có học sinh lớp 12A là C56 (ta chỉ chọn học
sinh lớp 12B).
Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là C511 − C56 .
Ví dụ 3
Đội văn nghệ của nhà trường gồm 5 học sinh lớp 12A, 6 học sinh lớp 12B và 2
học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong
lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được
chọn?
LỜI GIẢI.
- SỐ 1, THÁNG 1 NĂM 2022 3
Nhận xét. Nếu bài toán này tiếp cận theo kiểu chia trường hợp xét trực tiếp.
Ta sẽ nhận thấy mỗi lớp phải lấy ít nhất một học sinh như ta phải lấy thêm 2
học sinh nữa. Khi ấy người làm thường sẽ dẫn đến hai trường hợp sau: Một là
người làm tiến hành chia trường hợp và tính trực tiếp. Bài toán vẫn xử lí được
nhưng nếu không cẩn thận người làm dễ đếm thiếu trường hợp.
Hai là đếm theo kiểu chọn ra ba học sinh ở ba lớp sau đó chọn ra thêm hai học
sinh bất kì. Ở cách làm này bị lặp và ta không kiểm soát được số lần lặp nên
không hiệu chỉnh số lần lặp để trở thành lời giải đúng.
Do đó bài toán trên ta dùng kỹ năng đếm bù thì khá hiệu quả.
Chọn ra 5 học sinh tùy ý từ 13 học sinh. Số cách chọn là C513 = 1287 cách.
Số cách chọn 5 học sinh có đúng một lớp là C55 + C56 = 7 cách.
Số cách chọn 5 học sinh có đúng hai lớp là
• Lớp 12A và 12B: C511 − (C55 + C56 ) = 455 cách.
• Lớp 12A và 12C: C57 − C55 = 20 cách.
• Lớp 12B và 12C: C58 − C56 = 50 cách.
Số cách chọn 5 học sinh có đúng hai lớp là 525 cách.
Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài là 1287 − 7 − 524 = 755 cách.
III – KỸ NĂNG NHÓM ĐỐI TƯỢNG
Ví dụ 4
Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 8 cuốn sách Hóa lên
một kệ sách sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các
cuốn sách đôi một khác nhau.
A. 7 · 5! · 6! · 8!. B. 6 · 5! · 6! · 8!. C. 6 · 4! · 6! · 8!. D. 6 · 5! · 6! · 7!.
LỜI GIẢI.
Nhận xét. Khi ta cần sắp xếp các đối tượng cùng loại kề nhau một kỹ năng
thường dùng “tạo nhóm”.
Cụ thể như sau:
Ta xếp các cuốn sách cùng một bộ môn thành một nhóm.
Trước hết ta xếp 3 nhóm lên kệ sách có 3! cách xếp.
Với mỗi cách xếp 3 nhóm đó lên kệ ta có 5! cách hoán vị các cuốn sách Toán, 6!
cách hoán vị các cuốn sách Lý và 8! cách hoán vị các cuốn sách Hóa.
Vậy theo quy tắc nhân có tất cả: 3! · 5! · 6! · 8! cách sắp xếp.
Chọn đáp án B
- 4 TẠP CHÍ GIÁO VIÊN TOÁN
Ví dụ 5
Cho X = {1; 2; 3; 4; 5}. Hỏi từ X có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ
số, trong đó chữ số 1 xuất hiện hai lần và đứng kề sau, còn các chữ số khác xuất
hiện không quá một lần?
LỜI GIẢI.
Chọn ra hai chữ số khác 1 từ tập X có C24 cách thực hiện.
Xếp 4 chữ số đã chọn thành hàng ngang sao cho hai chữ số 1 đứng kề nhau. Khi
ấy số cách xếp là 3! · 2!.
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu là C24 × 3! × 2!.
IV – KỸ NĂNG VÁCH NGĂN
Khi ta gặp bài toán cần sắp xếp các đối tượng mà các đối tượng cùng loại
không kề nhau.
Ví dụ 6
Có 5 học sinh An, Bình, Cường, Dũng, Linh được xếp thành một hàng ngang. Hỏi
có mấy cách sắp xếp nếu An và Cường không đứng cạnh nhau.
LỜI GIẢI.
Nhận xét. Do An và Cường không đứng cạnh nhau nên giữa hai người phải có
ít nhất một học sinh khác. Như vậy ta chỉ cần một vách ngăn trong khi đó ta có
đến ba học sinh xếp vào hàng. Do đó nếu ta xếp hai bạn An và Cường vào trước
dẫn đến bài toán nhiều khả năng. Nhưng nếu ta xếp ba bạn còn lại vào trước thì
bài toán lại đơn giản hơn.
Cụ thể như sau:
Xếp ba học sinh Bình, Dũng, Linh thành một hàng ngang. Số cách xếp là 3!.
Ứng với mỗi cách xếp ba bạn trên ta có 4 vị trí có thể chọn để xếp hai bạn An và
Cường.
Khi đó ta chọn ra 2 vị trí và xếp hai bạn An và Cường. Số cách thực hiện là
C24 × 2!.
Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là 3! × C24 × 2!.
Ví dụ 7
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học
sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để 10 học sinh trên không có 2 học
sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng
11 1 1 1
A. . B. . C. . D. .
630 126 105 42
(ĐTK - BGD&ĐT - Năm 2018)
LỜI GIẢI.
- SỐ 1, THÁNG 1 NĂM 2022 5
Nhận xét. Khi gặp bài toán này học sinh thường sẽ đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Khi tiến hành xếp đối tượng thì hay phân vân ta nên xếp đối tượng nào trước
đây. Trong trường hợp này để thuận lợi ta thường chọn trường hợp cần nhiều
vách ngăn nhấn để bài toán trở nên gọn. Cụ thể như sau, nếu ta xếp 5 học sinh
lớp 12C ta cần ít nhất 4 đối tượng (đối tượng có thể là một học sinh hoặc một
nhóm học sinh) để đứng giữa khoảng trống hai học sinh lớp 12C. Khi ấy, để
tiện trong cách dẫn dắt tôi hay gọi đó là “vách ngăn”.
Gọi A là biến cố “không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau”.
Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 10!.
Đầu tiên xếp 5 học sinh lớp 12C thì có 5! cách xếp.
C V1 C V2 C V3 C V4 C
Chọn đáp án A
TH1: Có đúng 4 vách ngăn:
• Chọn một vách ngăn và chọn hai học sinh khác lớp và xếp các vách ngăn ấy có
4 · 2 · 3 · 2! cách.
• Xếp ba học sinh còn lại vào ba vách ngăn bắt buộc phải có còn lại là 3!.
Theo quy tắc nhân ta có 4 · 2 · 3 · 2! · 3! cách.
TH2: Có 5 vách ngăn: Khi đó ta phải chọn 4 vách ngăn bắt buộc nằm xen kẻ giữa
hai học sinh lớp 12C và một vách đầu hàng hoặc cuối hàng. Sau đó xếp 5 học sinh
vào 5 vách ngăn đã chọn mỗi vách một học sinh. Số cách thực hiện là 2 · 5!.
Suy ra, n(A) = 5! (2 · 5! + 2! · 2 · 3 · 4!).
11
Vậy xác suất của biến cố A là P (A) = .
630
V – KỸ NĂNG PHÂN NHÓM
Ví dụ 8
Lớp học 11T1 có 4 tổ, thầy giáo muốn chia lớp học thành hai đội thi giải toán
nhanh. Hỏi thầy giáo cho bao nhiêu cách chia?
LỜI GIẢI.
Nhận xét. Thoạt nhìn ta sẽ nghĩ số cách chia là: C24 = 6. Nhưng thực tế không
phải vậy. Ta quan sát bằng cách viết cụ thể như sau: Xét 4 tổ là A, B, C, D, khi
ấy ta chỉ việc chọn một tổ sẽ có duy nhất một cách chọn tổ còn lại:
Cụ thể: (A, B) ↔ (C, D); (A, C) ↔ (B, D); (A, D) ↔ (C, B).
- 6 TẠP CHÍ GIÁO VIÊN TOÁN
+ Cách 1: Như vậy nếu ta tính số cách chia là C24 = 6 bị lặp lại 2 lần. Nên số cách
C2
chia thành hai đội là 4 = 3.
2
+ Cách 2: Mỗi tổ đều phải nằm trong một đội. Do đó ta cố định một tổ ta chọn
tổ còn lại ghép thành đội. Nên số cách chia đội là C13 = 3.
+ Cách 3: (A, B) ↔ (C, D). Mỗi cách chia đội như thế này tương ứng với một
hoán vị của 4 phần tử. Sau đó ta cắt đôi thành hai khối, trong mỗi khối là một
4!
hoán vị lặp, và nên số cách chia đội là = 3.
2! · 2! · 2!
Ví dụ 9
Có 5 cặp vợ chồng cùng tham gia một trò chơi trải nghiệm. Ban tổ chức yêu cầu
chia họ thành 5 đội A, B, C, D, E sao cho mỗi đội có 2 người hoặc là một cặp vợ
chồng cùng nam hoặc cùng nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia đội.
A. 6720. B. 6600. C. 22920. D. 120.
LỜI GIẢI.
Nhận xét. Thường gặp bài toán trên học sinh và giáo viên sẽ có lời giải dưới
đây.
TH1: Mỗi đội là một cặp vợ chồng nên chia 5 đội có 5! = 120 cách chọn.
TH2: Chọn 1 đội là 1 cặp vợ chồng có 5 cách chọn.
• Chọn 2 đội mỗi đội gồm 2 nam có C24 · C22 cách chọn.
• Chọn 2 đội mỗi đội có 2 nữa có C24 · C22 cách chọn.
2
Nên có 5 · (C24 · C22 ) · 5! = 21600 cách chia.
TH3: Có 3 đội, mỗi đội có 2 nam và một đội có 2 nữ có 1 cách chọn. Nên có
C35 · 5! cách chia.
Vậy có 120 + 21600 + 1200 = 22920 cách chia.
Khi giải như trên thì người giải so với đáp số thấy mình sai nhưng một số thường
thắc mắc lời giải trên sai ở đâu và sai thế nào? Có thể điều chỉnh thế nào để
thành lời giải đúng.
Lý do sai lầm trong lời giải trên: Trong trường hợp 2 đã đếm lặp. Bước chia 2
đội nam đã có thứ tự cuối cùng lại xếp thứ tự lần nữa. Tương tự với 2 đội nữ
cũng vậy, cũng bị lặp.
Ta sẽ giải bài toán trên như sau:
Gồm hai bước: Chia nhóm và xếp vào 5 đội.
Bước 1: Chia nhóm (không quan tâm thứ tự các nhóm) có 3 TH xảy ra. + TH1:
Có đúng 1 nhóm là cặp vợ chồng: Khi đó có hai nhóm nam và hai nhóm nữ nên
số cách chia nhóm là 5 × 3 × 3 = 45.
+ TH2: Có đúng 3 nhóm là cặp vợ chồng. Khi ấy có một nhóm nam và một nhóm
nữ. Số cách chia nhóm là C35 .
+ Th3: Có đúng 5 nhóm là cặp vợ chồng. Có đúng 1 cách.
Bước 2: Xếp 5 nhóm vào 5 đội có 5! cách xếp.
- SỐ 1, THÁNG 1 NĂM 2022 7
Vậy số cách là 56 × 5! = 6720.
Chọn đáp án A
VI – KỸ NĂNG CHỌN ĐỐI TƯỢNG VÀ SẮP XẾP ĐỐI TƯỢNG
Ví dụ 10
Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đội một khác nhau và các
chữ số thuộc tập hợp {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S, xác
suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ bằng
17 41 31 5
A. . B. . C. . D. .
42 126 126 21
(BGD - Đợt 1 - Mã đề 102 - 2020)
LỜI GIẢI.
Nhận xét. Bài toán này ta sẽ sử dụng kỹ năng vách ngăn. Nhưng khi đối tượng
chọn ra sẽ ảnh hưởng đến số vách ngăn tối thiểu và tối đa cần.
Số các phần tử của S là A49 = 3024. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S có 3024
(cách chọn). Suy ra n(Ω) = 3024.
Gọi biến cố A: “Chọn được số không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ”.
• Trường hợp 1: Số được chọn có 4 chữ số chẵn, có 4! = 24 (số).
• Trường hợp 2: Số được chọn có 1 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn, có 5 · 4 · 4! = 480
(số).
• Trường hợp 3: Số được chọn có 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn, có C25 × C24 × 2! × 3!
(số).
Do đó, n(A) = 24 + 480 + 720 = 1224.
n(A) 1224 17
Vậy xác suất cần tìm là P (A) = = = .
n(Ω) 3024 42
Chọn đáp án A
Ví dụ 11
Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang, xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3
học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, sao
cho mỗi ghế có đúng 1 học sinh. Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học
sinh lớp B bằng
1 3 2 1
A. . B. . C. . D. .
6 20 15 5
(ĐTK - BGD&ĐT - L1 - Năm 2020)
LỜI GIẢI.
- 8 TẠP CHÍ GIÁO VIÊN TOÁN
Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh trên 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang có 6!
cách. Để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B có hai trường hợp: TH1: Học
sinh lớp C chỉ ngồi kế bên một học sinh lớp B:
B C
• Chọn vị trí đầu hàng hoặc cuối hàng cho học sinh lớp C ngồi: Có 2 cách thực
hiện.
• Chọn học sinh lớp B ngồi kế bên bạn lớp C có 2 cách.
• Xếp 4 học sinh còn lại vào 4 vị trí trống có 4! cách.
Vậy trường hợp 1 có 96 cách xếp.
TH2: Học sinh C ngồi giữa hai học sinh B:
B C B
Khi ấy ta cột ba học sinh B, C, B thành một đối tượng. Xếp 4 học sinh A và đối
tượng cột thành hàng ngang, sau đó sắp xếp vị trí trong đối tượng hai học sinh B
sao cho C luôn đứng giữa. Số cách xếp 4! × 2! cách xếp.
Vậy trường hợp 2 có 48 cách xếp.
96 + 48 1
Xác suất cần tìm là = .
6! 5
Chọn đáp án D
MỘT KẾT QUẢ ĐẸP CHO BÀI TOÁN
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
NGÔ CHÂU DUNG
THPT Yên Phong Số 1, Yên Phong, Bắc Ninh
Bài toán góc giữa hai mặt phẳng là bài toán vận dụng cao thường gặp trong đề thi
Tốt nghiệp THPT của học sinh. Vì là bài thi trắc nghiệm nên mỗi dạng toán dạy học
sinh chúng ta thường sẽ tìm những con đường ngắn nhất để học sinh hoàn thành bài
thi. Trong phạm vi nhỏ của Tập San tôi muốn đề cập đến một kết quả đẹp có thể
giúp ích học sinh khi giải bài toán trắc nghiệm về Góc giữa hai mặt phẳng.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (P ) và (Q). Thì α = (a,
’ b), ở đây a, b là hai đường
thẳng sao cho a ⊥ (P ), b ⊥ (Q).
Ta sẽ chứng minh một kết quả có áp dụng rất tốt cho một dạng bài toán góc.
- SỐ 1, THÁNG 1 NĂM 2022 9
KẾT QUẢ
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật, biết
SA = h, AB = a, AD = b.
Gọi góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) bằng α. Khi đó
AB AD a b
cos α = · =√ ·√ .(1) (I.1)
SB SD 2
h +a 2 h + b2
2
a2
Đặc biệt khi ABCD là hình vuông thì cos α = . (2)
h2 + a2
Thật vậy
S
F
E
D
A
B C
Cách 1:
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD.
Khi đó ta có AE ⊥
- (SBC) và
- AF ⊥ (SDC), do đó ((SBC), (SDC)) = (AE, AF ) =
- −→ −→
-
- AE · AF
-
α. Khi đó cos α = . (3)
AE · AF
AB · SA SA2
Ta có AE = (∗) và SE = .
SB SB
Suy ra
−→ SA2 −→ −→ SA2 −→ AB 2 −→
SE = SB ⇔ AE = AB + AS
SB 2 SB 2 SB 2
AD · SA SA2
Tương tự, AF = (∗∗), SF = .
SD SD
Suy ra
−→ SA2 −→ −→ SA2 −−→ AD2 −→
SF = SD ⇔ AF = AD + AS
SD2 SD2 SD2
−→ −→ AB 2 · AD2
Do đó AE · AF = · AS 2 (∗ ∗ ∗).
SB 2 · SD2
Thay (∗), (∗∗), (∗ ∗ ∗) vào (3) ta được công thức (1). Cho a = b ta được (2).
Cách 2:
- 10 TẠP CHÍ GIÁO VIÊN TOÁN
Gọi K là hình chiếu của D lên SC, khi đó
d(D, (SBC)) d(A, (SBC)) AE AS · AB SC AS · SC
sin α = = = = · =
DK DK DK SB SD · DC SB · SD
2 2 2 2 2 2 2 2
AS · SC SB · SD − SA (SA + AB + AD )
cos α = 1 − 2 2
=
SB · SD SB 2 · SD2
(SA2 + AB 2 ) · (SA2 + AD2 ) − SA2 (SA2 + AB 2 + AD2 ) AD · AB
= 2 2
= .
SB · SD SD · SB
Cách 3: Phương pháp tọa độ hóa.
CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a,
SBA
’ = SCA ’ = 90◦ , góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng 60◦ . Thể tích
khối chóp đó bằng
a3 a3 a3
A. a3 . B. . C. . D. .
3 2 6
(ĐỀ THI THAM KHẢO BGD - 2019)
LỜI GIẢI.
S
D
C
B
A
Gọi D®là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC).
AB ⊥ SB
Ta có ⇒ AB ⊥ (SBD) ⇒ AB ⊥ BD.
AB ⊥ SD
Tương tự, ta có AC ⊥ CD ⇒ ABCD là hình vuông cạnh a.
Đặt SD = h, h > 0. Áp dụng kết quả (2) trên ta có:
a2 a2 1
cos α = 2 2
⇔ 2 2
= ⇒ h = a ⇒ SD = a.
h +a h +a 2
2
1 a
Lại có S4ABC = AB · AC = .
2 2
1 a3
Vậy VS.ABC = S4ABC · SD = .
3 6
- SỐ 1, THÁNG 1 NĂM 2022 11
Chọn đáp án D
Ví dụ 2
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC =
5a; SAB
’ = SCB ’ = 90◦ . Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SBA) bằng α
9
với cos α = . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng
16 √ √
50a3 125 7a3 125 7a3 50a3
A. . B. . C. . D. .
3 9 18 9
LỜI GIẢI.
S
I
D
A
C
B
Ta có hai tam giác vuông SAB và SBC bằng nhau và chung cạnh huyền SB. Kẻ
AI ⊥ SB ⇒ CI ⊥ SB và góc giữa hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) là góc giữa
hai đường thẳng AI và CI, suy ra (AI, CI) = α.
’ = 90◦ ⇒ 180◦ > AIC
Do CBA ‘ > 90◦ ⇒ AIC ‘ =−9.
‘ = 180◦ − α ⇒ cos AIC
√ 16
Có AC = 5 2a, 4AIC cân tại I, nên có
2AI 2 − AC 2 2 2
‘ ⇔ 2AI − AC = − 9 ⇔ AI 2 = 16a2 ⇒ AI = 4a.
= cos AIC
2AI 2 2AI 2 16
2
AI 16 25a
Suy ra BI = 3a ⇒ SI = = a ⇒ SB = .
IB 3 3
Gọi D®là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC).
AB ⊥ SB
Ta có ⇒ AB ⊥ (SBD) ⇒ AB ⊥ BD.
AB ⊥ SD
Tương tự, ta có AC ⊥ CD ⇒ ABDC là hình vuông cạnh a.
Đặt SD = h, h > 0. Áp dụng công thức (2) kết quả trên ta có
√
(5a)2 25a2 9 5 7a
cos α = 2 ⇔ 2 = ⇒h= = SD.
h + (5a)2 h + 25a2 16 3
√
1 125 7a3
Từ đây tiếp tục tính thể tích VS.ABC = S4ABC · SD = .
3 18
Chọn đáp án C
- 12 TẠP CHÍ GIÁO VIÊN TOÁN
Ví dụ 3
√ √
Cho hình chóp S.ABC, có SAB
’ = ABC ’ = 90◦ , AB = 10a, BC = 3a
’ = SCB
và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 45◦ . Tính thể tích khối chóp
S.ABC.√ 3 √ √ 3 √ 3
15a 2 15a3 15a 15a
A. . B. . C. . D. .
3 3 6 2
LỜI GIẢI.
S
D
C
A
B
Gọi góc cần tìm là α = ((SAB),
¤ (SBC)). Ta sẽ phục dựng hình ẩn là chóp
S.ABCD:
Giả sử gọi D là hình
´ chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC).
AB ⊥ SA
Ta có ⇒ AB ⊥ AD. Tương tự, ta có BC ⊥ CD ⇒ ABCD là hình
AB ⊥ SD
chữ nhật.
Nên S.ABCD là hình chóp có SD ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật.
Đặt SD = h, h > 0. Coi a = 1 để tiện tính toán.
Áp dụng kết quả (1) vào bài, ta có
√ √ ñ 2
3 10 1 h =2
√ ·√ = √ ⇔ h4 + 13h2 − 30 = 0 ⇔ 2 ⇒ h2 = 2
h2 + 3 h2 + 10 2 h = −15
√ √
suy ra h = 2. Ta được SD = 2a.
√
1 √ 1 √ √ 15a3
VS.ABC = · 2 · · 3 · 10a3 = .
3 2 3
Bình luận. Rõ ràng công thức tính nhanh giúp giải trắc nghiệm rất hiệu quả.
Chọn đáp án A
- SỐ 1, THÁNG 1 NĂM 2022 13
Ví dụ 4
Cho hình chóp S.ABCD,√đáy ABCD là hình thang cân có BC k AD, BC =
2a ’ = 90◦ , góc giữa hai mặt phẳng
2AD = 2a, AB = CD = . Biết SBA
’ = SCD
2
(SAB) và √(SCD) bằng 60c irc.
√ Tính tích khối chóp√S.ABCD. √
3 3 3
3a 2 a 2 3a 2 a3 2
A. . B. . C. . D. .
2 2 4 4
LỜI GIẢI.
S
H
B C
A D
E
Gọi α = ((SAB),
¤ (SBC)). √
Gọi E = AB ∩ CD ⇒ BE = CE = a 2 ⇒ BE 2 + CE 2 = BC 2 ⇒ 4BEC vuông
cân đỉnh E.
Suy ra α = ((SBE),
¤ (SCE)). Ta đưa về bài toán gốc. ´
EB ⊥ SB
Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD), thì ⇒ EB ⊥ BH.
EB ⊥ SH
√
Tương tự EC ⊥ CH. Từ đây ta suy ra tứ giác HBEC là hình vuông cạnh a 2.
Gọi SH = h, h > 0. Áp dụng công thức tính nhanh (2):
Ä √ ä2
a 2 1 2 2
√
Ä √ ä2 = ⇒ h = 2a ⇒ h = a 2.
h2 + a 2 2
Ç √ å2 √
3 a 2 3a2 1 3a2 √ a3 2
SABCD = 3SAED = = ⇒ VS.ABCD = · ·a 2= .
2 2 4 3 4 4
Chọn đáp án D
nguon tai.lieu . vn
