Xem mẫu
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON - JACOBI VỚI DỮ KIỆN
LÕM - LỖI TỪNG PHẦN
Nguyễn Hữu Thọ
Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG i) Nếu Hamiltonian H (p) là hàm lõm ngặt
Báo cáo này sẽ nghiên cứu về bài toán H (p )
trong \ n , thỏa mãn lim = −∞ và dữ
Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi |p| |p |→∞
trong trường hợp Hamiltonian và dữ kiện kiện ban đầu g(x ) là hàm liên tục Lipschitz
ban đầu là các hàm lõm-lồi từng phần. toàn cục trong \ n thì hàm
Kết quả đạt được trong báo cáo này là: với
⎛ ⎛ x − y ⎞⎟⎞⎟
những giả thiết được đặt ra, tác giả sẽ thiết u(t, x ) = sup ⎜⎜⎜g(y ) + tH * ⎜⎜ ⎟⎟ (3)
lập được công thức nghiệm dạng y ∈ \n ⎜
⎝ ⎜⎝ t ⎠⎟⎟⎟⎠⎟
Hopf – Lax cho nghiệm toàn cục Lipschitz là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài
của bài toán. toán (1) – (2).
ii) Nếu Hamiltonian H (p) là hàm lồi ngặt
2. NỘI DUNG BÁO CÁO
H (p )
2.1. Đặt vấn đề trong \ n , thỏa mãn lim = +∞ và dữ
|p| |p |→∞
Xét bài toán Cauchy cho phương trình kiện ban đầu g(x ) là hàm liên tục Lipschitz
Hamilton-Jacobi
toàn cục trong \ n thì hàm
⎧
⎪ n
⎪ut + H (ux ) = 0,(t, x ) ∈ Ω = (0,T ) × \ (1), ⎛ ⎛ x − y ⎞⎟⎞⎟
⎨
⎪u(0, x ) = g(x ) , x ∈ \ n u(t, x ) = infn ⎜⎜⎜g(y ) + tH * ⎜⎜ ⎟⎟ (4)
⎪
⎪
⎩
(2) y ∈\ ⎜ ⎝ ⎜⎝ t ⎠⎟⎟⎟⎠⎟
ở đây Hamiltonian H = H (p) và dữ kiện
là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài
ban đầu g = g(x ) đã được cho trước, ký hiệu toán (1) – (2).
Lip(Ω) là tập tất cả các hàm liên tục iii) Nếu Hamiltonian H (p) là hàm liên tục,
Lipschitz địa phương trong Ω . dữ kiện ban đầu g(x ) là hàm lồi và liên tục
Định nghĩa 1. ([4]). Hàm Lipschitz toàn cục trong \ n thì hàm
u(t, x ) ∈ Lip (Ω) , trong đó Ω = [0,T ) × \ n ,
(
u(t, x ) = sup x , y − g *(y ) − tH (y )
y ∈ \n
)
được gọi là một nghiệm toàn cục Lipschitz
của bài toán (1) - (2) nếu u(t, x ) thỏa mãn (1) là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài
hầu khắp nơi trong Ω và u(0, x ) = g(x ) toán (1) – (2).
iv) Nếu Hamiltonian H (p) là hàm liên tục,
với x ∈ \ n .
dữ kiện ban đầu g(x ) là hàm lõm và liên tục
Trong bài báo [1] của mình năm 1965,
E. Hopf đã chứng minh được các kết Lipschitz toàn cục trong \ n thì hàm
quả sau: (
u(t, x ) = infn x , y − g *(y ) − tH (y )
y ∈ )
171
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài Định lý. Giả thiết rằng, Hamiltonian
toán (1) – (2). H (p) = H (p1, p2 ), và dữ kiện ban đầu
Ở đây, trong các công thức (3) - (4), l *(z ) g(x ) = g(x 1, x 2 ) thỏa mãn các điều kiện sau:
là liên hợp Fenchel của hàm l (p) .
1) Hàm H (p) = H (p1, p2 ) ∈ C 2 (\) , lồi
Nếu l (p) là hàm lồi
H (p1, p2 )
l *(z ) = sup z, p − l (p) .
p∈\ n
( ) theo p2 và lim
|p2 |→∞ | p2 |
= +∞.
Nếu l (p) là hàm lõm
2) Với (p , p ) ∈ \ n1 n
× \ 2 , y2 , z 2 ∈ n2
( )
1 2
l *(z ) = infn z, p − l (p) .
p∈\ luôn tồn tại các hằng số C 1, C 2 sao cho
Từ đó đến nay, đã có rất nhiều nhà Toán 2
infn z 2, H z*2z (p1, y2 )z 2 ≥ C 1 z 2 ,
học nghiên cứu nhằm mở rộng các kết quả y2 ∈ \ 2 2 2
của E. Hopf với những điều kiện nới lỏng đặt 2
lên Hamiltonian và dữ kiện ban đầu. Báo cáo sup z 2, g p*1p (p1, y2 )z 2 ≤ C 2 z 2 .
n2 2 2
này sẽ mở rộng các kết quả đó theo hướng y2 ∈
xét Hamiltonia và dữ kiện ban đầu các hàm 3) Với mỗi x 1, x 2, p1, t cố định
lõm - lồi từng phần, và đây cũng là một phát
triển mới các kết quả đạt được trong [2] ⎡ *1 *1 ⎤
⎢g (p1, x 2 ) − g (p1, p2 ) +⎥
và [3]. lim inf ⎢⎢ ⎛ x − p ⎞⎟ ⎥⎥ > −∞ .
*2 ⎜ 2⎟
Ở đây, với x ∈ \ n , ta sẽ tách ra như sau
|p2 |→∞
⎢ tH ⎜⎜p1, 2 ⎟⎥
⎣⎢
⎜
⎝ t ⎠⎟ ⎦⎥
n n
x = (x 1, x 2 ), x 1 ∈ \ 1 , x 2 ∈ \ 2 , n1 + n2 = n.
4) Hàm g(x 1, x 2 ) ∈ C 2 (\ n ) là hàm lồi theo
Định nghĩa 2. [2] Hàm f (x 1, x 2 ) được gọi biến x 1 và với mỗi x 2 cố định
n2
là lồi (lõm) theo x 1 nếu với mỗi x 2 ∈ \ g *1(p1, x 2 ) − tH *2 (p1, 02 )
lim = = +∞ .
hàm f (x 1, x 2 ) là hàm lồi (lõm) đối với x 1 . |p1 |→∞ | p1 |
n n2
Và ta cũng có công thức liên hợp Fenchel 5) Với mọi p = (p1, p2 ) ∈ \ 1 × từng phần như sau.
Nếu l (p) = l (p1, p2 ), là hàm lồi theo
⎡
(
*1 *1
) ⎤
⎢⎣E2 − tH p2p2 p1 − g p2 (p1, p2 ) g p2 (p1, p2 )⎦⎥ ≠ 0
n
p1 ∈ \ 1 với p = (p1, p2 ) ∈ \ 1 × \ 2 , khi đó
n n trong đó E2 là ma trận đơn vị cấp n2 .
l *1(z1, p2 ) = sup ( z ,p
1 1
− l (p1, p2 ) . ) 6) Nếu p2 = p2 (p1, x 2, t ) là nghiệm của hệ
p1 ∈ n1
phương trình
Nếu l (p) = l (p1, p2 ), là hàm lõm theo p2 + tH p (p1 − g *1(p1, p2 )) = x 2 ,
2
n
p2 ∈ \ 2 , khi đó thì với mỗi (x 1, x 2 ) cố định, nghiệm
l *2 (p1, z 2 ) = infn
p2 ∈ \ 2
( z ,p
2 2 )
− l (p1, p2 ) . p1 = p1(x 1, x 2, t ) của hệ phương trình
⎛ x − p ⎞⎟
2.2. Kết quả p1 − g p*1(p1, p2 ) + tH *2 ⎜⎜⎜p1, 2 2⎟
⎟= 0
1 ⎜⎝ t ⎠⎟
Mục này dành cho việc trình bày một số
là hàm khả vi theo x 1 và bị chặn đều theo t
kết quả cho bài toán Cauchy (1) – (2) trong
trường hợp Hamitonian và dữ kiện ban đầu là khi t đủ nhỏ.
các hàm lõm – lồi từng phần. Khi đó công thức
172
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
u(x 1, x 2, t ) = u(x 1, x 2, t ) =
⎡ p , x − g *1(p , p ) + ⎤ ⎡ p , x − g *1(p , p ) + ⎤
⎢ 1 1 1 2 ⎥ ⎢ 1 1 1 2 ⎥
= sup infn ⎢⎢ ⎛ x − p ⎞⎟⎥⎥ = infn sup ⎢⎢ ⎛ x − p ⎞⎟⎥⎥
p1 ∈ \ 1 p2 ∈ \ ⎢
n 2 + tH *2 ⎜⎜⎜p1, 2 2⎟
⎟⎟⎥ p1 ∈ \ 1 p ∈ \n2 ⎢ + tH *2 ⎜⎜⎜p1, 2 2⎟
⎟⎟⎥
⎢⎣ ⎜⎝ t ⎠⎥ 2
⎢⎣ ⎜⎝ t ⎠⎥
⎦ ⎦
xác định nghiệm toàn cục Lipschitz của bài là nghiệm toàn cục Lipschitz của bài toán
toán Cauchy (1) – (2). Cauchy (1) – (2).
Chú ý. Cùng với một số điều kiện tương
3. KẾT LUẬN
thích tương ứng và các điều kiện cơ bản dưới
đây ta đạt được kết quả như sau. Báo cáo trình bày kết quả mở rộng công
1) Nếu H = H (p1, p2 ) lồi theo biến x 2 , thức dạng Hopf-Lax cho nghiệm toàn cục
Lipschitz của bài toán Cauchy cho phương
hàm g(x 1, x 2 ) lõm theo x 1 ,
trình Hamilton – Jacobi trong trường hợp
u(x 1, x 2, t ) = Hamiltonian và dữ kiện ban đầu là hàm lõm –
⎡ p , x − g *1(p , p ) + ⎤ lồi từng phần, kết quả này là có thể coi là một
⎢ 1 1 1 2 ⎥ cầu nối các công thức (3) và (4) trong [1] của
= infn infn ⎢⎢ ⎛ x − p ⎞⎟⎥⎥
p1 ∈ \ 1 p2 ∈ \ 2 ⎢ + tH *2 ⎜⎜⎜p1, 2 2⎟
⎟⎟⎥
E. Hopf và cùng là một mở rộng kết quả
⎢⎣ ⎜
⎝ t ⎠⎥ trong các công trình [2] và [3].
⎦
là nghiệm toàn cục Lipschitz của bài toán 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Cauchy (1) – (2).
2) Nếu H (p) = H (p1, p2 ) lõm theo biến [1] E. Hopf, (1965), Generalized solutions of
nonlinear equations of first order, J. Math.
x 2 , dữ kiện ban đầu g(x 1, x 2 ) lồi theo x 1 , And Mech., Vol. 14, pp. 951-973.
u(x 1, x 2, t ) = [2] Ha Tien Ngoan (1998), Hopf’s formula for
Lipschitz solutions of Hamilton-Jacobi
⎡ p , x − g *1(p , p ) + ⎤ equations with concave-convex Hamiltonian,
⎢ 1 1 1 2 ⎥
= sup sup ⎢⎢ ⎛ x − p ⎞⎟⎥⎥ Acta Mathematica Vietnamica, Vol. 23, No.
p1 ∈ \ 1 p2 ∈ \ 2 ⎢
n n + tH *2 ⎜⎜⎜p1, 2 2⎟
⎟⎟⎥ 2, pp. 269-293.
⎢⎣ ⎜⎝ t ⎠⎥ [3] N.H. Tho and Tran Duc Van, (2003), Hopf
⎦
là nghiệm toàn cục Lipschitz của bài toán – Type estimates for solutions to Hamilton-
Jacobi equations with cancave-convex
Cauchy (1) – (2).
initial data, Electronic Journal of
3) Nếu H (p) = H (p1, p2 ) lõm theo biến Differential equations, Vol. 2003, No. 59,
x 2 , dữ kiện ban đầu g(x 1, x 2 ) lõm theo x 1 , pp. 1-11.
173
nguon tai.lieu . vn
