- Trang Chủ
- Toán học
- Một thuật toán phần tử hữu hạn mờ cải tiến phân tích tĩnh kết cấu có tham số đầu vào là các số mờ tam giác tổng quát
Xem mẫu
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
MỘT THUẬT TOÁN PHẦN TỬ HỮU HẠN MỜ CẢI TIẾN
PHÂN TÍCH TĨNH KẾT CẤU CÓ THAM SỐ ĐẦU VÀO
LÀ CÁC SỐ MỜ TAM GIÁC TỔNG QUÁT
Nguyễn Hùng Tuấn
Trường Đại học Thủy lợi, email: hungtuan@tlu.edu.vn
1. ĐẶT VẤN ĐỀ x − xi
X = i (1)
i
Thuật toán PTHH mờ là sự kết hợp giữa s
i
các kỹ thuật của phương pháp PTHH và các trong đó: xi - biến gốc;
phép toán trong lý thuyết tập mờ [1], để xác xi - giá trị trung bình các quan sát
định đáp ứng kết cấu trong trường hợp các
trên biến xi;
tham số đầu vào không chắc chắn được cho
si - sai lệch chuẩn.
dưới dạng số mờ. Trong các hướng tiếp cận Theo công thức (1), muốn xác định biến
để đưa ra các thuật toán PTHH mờ, việc sử chuẩn Xi ta phải thực hiện nhiều quan sát trên
dụng phương pháp mặt đáp ứng [2] trong lý biến xi. Tuy nhiên, có thể thực hiện đơn giản
thuyết xác suất- thống kê toán học được xem hơn nhờ vận dụng các kết quả nghiên cứu
là thuận tiện hơn cả, do giảm được khối toán học của các tác giả Dubois D., Prade H.
lượng mà vẫn đảm bảo được độ chính xác [5] về quy tắc chuyển đổi từ đại lượng mờ
theo yêu cầu tính toán, nhờ vận dụng hợp lý sang đại lượng ngẫu nhiên, từ đó xác định kỳ
các phương án lấy mẫu và các thuật toán tối vọng μi và độ lệch chuẩn σi của biến ngẫu
ưu để xác định đáp ứng kết cấu. Trong [3], nhiên tương đương. Kết quả được thực hiện
chúng tôi đã đề xuất một thuật toán PTHH đối với số mờ tam giác tổng quát thể hiện
mờ phân tích tĩnh kết cấu hệ thanh, với các trên Hình 1.
tham số đầu vào là các số mờ tam giác cân,
để xác định đáp ứng kết cấu là các chuyển vị μ (x )
mờ. Trên cơ sở thuật toán trên, bài báo này sẽ
1
trình bày một thuật toán PTHH mờ cải tiến
đối với các tham số đầu vào là các số mờ tam
giác tổng quát. Thông qua ví dụ minh họa, so
sánh với kết quả theo thuật toán [3] và kết
quả được xem là "chuẩn" theo thuật toán tối a x
ưu hóa mức α [4], cho thấy hiệu quả của l r
thuật toán đề xuất.
Hình 1. Số mờ tam giác tổng quát ~xi
2. NỘI DUNG CỦA THUẬT TOÁN ĐỀ XUẤT
Theo nguyên lý thông tin không đầy đủ [5]
2.1. Xác định các biến chuẩn trong mô về chuyển đổi từ đại lượng mờ sang đại
hình thay thế lương ngẫu nhiên, ta thu được hàm mật
Theo lý thuyết thống kê, biến chuẩn Xi độ phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
được xác định theo công thức: tương đương.
48
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
⎧ 1 ⎛ a − xi ⎞ xuất sử dụng mô hình hồi quy đa thức bậc hai
⎪− ln⎜ ⎟ ; x i ∈ [a − l , a ] đầy đủ đối với các biến mờ chuẩn xác định
⎪ 2l ⎝ l ⎠
p( xi ) = ⎨ (2) theo công thức (6) làm mô hình thay thế, cho
⎪− 1 ⎛ xi − a ⎞ đáp ứng kết cấu là các chuyển vị mờ:
ln⎜ ⎟ ; x i ∈ [a, a + l ]
⎪⎩ 2l ⎝ r ⎠ n n-1 n
2 y(X) = a o + ∑ a i Xi + ∑ a ij Xi X j + ∑ a ii X i2 (8)
Xác định kỳ vọng μi và phương sai σi i =1 i =1, i < j i =1
theo công thức: Theo nguyên lý mở rộng [1], các giá trị tin
a +r
μ i = ∫ x i .p(x i ) dx i (3) tưởng (mức thuộc α =1) đầu vào sẽ cho giá
a −l
trị tin tưởng ở đầu ra. Do đó, mô hình thay
a+r
σ i2 = ∫ x i2 .p(x i ) dx i − μ i2 (4) thế theo công thức (8) cũng phải thỏa mãn
a −l
điều kiện này, nghĩa là
Thay (2) vào (3), (4) và biến đổi ta được y(X = ac) = yˆ (x = a ) (9)
(l - r) trong đó yˆ (x = a ) - chuyển vị tại giá trị tin
μi = a -
4 tưởng của đầu vào, được xác định theo
(5)
7(l 2
+ r 2 ) + 2lr phương pháp PTHH tất định.
σ i2 =
144 Các hệ số hồi quy trong (8) được xác định
Vậy biến chuẩn trong mô hình thay thế là theo phương pháp bình phương tối thiểu, với
(l - r) điều kiện ràng buộc theo (9).
xi − a +
xi − μi 4 2.3. Thiết kế mẫu thử
Xi = = (6)
σi 7(l 2 + r 2 ) + 2lr / 12 Tương tự như [3], bài này chọn thiết kế
Với phép đổi biến trên, từ biến mờ gốc ban mẫu Box- Behnken.
đầu ~xi = (a, l , r )LR ta chuyển sang biến 2.4. Ước lượng sai lệch và chọn lựa
~
mờ X i = (ac , lc , rc )LR , tương ứng với là đại phương án
lượng ngẫu nhiên Xi có phân phối (0, 1), trong Tương tự như [3], ước lượng sai lệch của
đó các giá trị trung tâm ac, độ rộng trái lc và độ phương án thứ j ( sử dụng X(j) làm tập kiểm
rộng phải rc xác định theo công thức sau tra) xác định theo công thức :
GSE j = (y j − yˆ (j− j) ) → min
2
(l − r ) (10)
ac =
4 2.5. Xác định đáp ứng kết cấu là các
(l − r ) 3(r + 3l ) (7) chuyển vị mờ
lc = +
4 7(l 2 + r 2 ) + 2lr Để xác định các chuyển vị mờ, cần giải
3(l + 3r ) (l − r ) các bài toán quy hoạch phi tuyến trên các lát
rc = −
7(l 2 + r 2 ) + 2lr 4 cắt α của tham số mờ đầu vào. Thuật toán đề
xuất sử dụng thuật giải di truyền GA trong
Từ công thức (7), nhận thấy đối với số mờ Matlab 7.12, để tính toán trên các mô hình đa
tam giác cân, ta được ac = 0, lc = rc = 3. Nói cách thức bậc 2 đầy đủ.
khác, phép đổi biến sử dụng trong [3] là trường
hợp đặc biệt của các công thức (6) và (7). 3. VÍ DỤ MINH HỌA
2.2. Lựa chọn mô hình thay thế (mô
hình mặt đáp ứng)
Trong [3], chúng tôi đã sử dụng mô hình
hồi quy đa thức bậc 2 không đầy đủ (mô hình
bậc 2 khuyết) làm mô hình thay thế. Tuy
nhiên, về mặt nguyên tắc, đối với đáp ứng kết
cấu là các chuyển vị mờ, mô hình hồi quy đa
thức bậc 2 đầy đủ sẽ mang tính tổng quát hơn
mô hình bậc 2 khuyết. Do đó, thuật toán đề Hình 2. Ví dụ minh họa
49
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
Cho hệ thanh trên Hình 2. Tiết diện các ~
k = (2000, 100, 500)LR kN/m.
thanh A1 = A2 = 5,0.10-4 m2. Mô đun đàn hồi Yêu cầu: xác định các chuyển vị mờ u~1 , v~1 .
~ ~ ~
E , các lực P1 , P2 được xem xét là các số mờ
~ Thực hiện tính toán theo thuật toán đề xuất
tam giác cân; độ cứng gối đàn hồi k được và theo [3], sử dụng thuật toán tối ưu hóa
xem xét là số mờ tam giác không cân. Xét
các trường hợp sau : mức α [4] làm chuẩn để so sánh. Trong
~
Trường hợp 1: E = (210, 20, 20)LR GPa; khuôn khổ bài báo, kết quả tính toán các
~ ~
P1 = (30, 3, 3)LR kN; P2 = (25, 3, 3)LR kN;
chuyển vị mờ u~1 tại các lát cắt α = 0 được thể
~ hiện ở Bảng 1. Các kết quả đối với chuyển vị
k = (2000, 400, 0)LR kN/m.
~
Trường hợp 2: E = (210, 20, 20)LR GPa; mờ u~1 , v~1 đối với trường hợp 3 được thể hiện
~ ~ trên Hình 3, Hình 4. Các kết quả tính toán
P1 = (30, 3, 3)LR kN; P2 = (25, 3, 3)LR kN;
~
k = (2000, 0, 400)LR kN/m.
này cho thấy tính chính xác của thuật toán đề
~
Trường hợp 3: E = (210, 20, 20)LR GPa; xuất (sai lệch tương đối lớn nhất của thuật
~ ~ toán đề xuất là 0.8%).
P1 = (30, 3, 3)LR kN; P2 = (25, 3, 3)LR kN;
Bảng 1. Chuyển vị mờ u1 tại lát cắt α = 0
Chuyển vị u1 tại lát cắt Chuyển vị u1 tại lát cắt Chuyển vị u1 tại lát cắt
Trường
α = 0 theo thuật toán α = 0 theo thuật toán α = 0 theo mô hình đa thức
hợp
đề xuất (m) tối ưu hóa mức α (m) bậc 2 không đầy đủ (m)
1 [0.000239, 0.001351] [0.000238, 0.001352] [0.000208, 0.001326]
2 [0.000189, 0.001329] [0.000188, 0.001329] [0.000162, 0.001295]
3 [0.000226, 0.001357] [0.000226, 0.001358] [0.000213, 0.001334]
Membership function
Hình 3. Chuyển vị mờ u1 (mm) Hình 4. Chuyển vị mờ v1 (mm)
Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội,
4. KẾT LUẬN
Hà Nội.
Bài báo đã đề xuất một thuật toán phần tử [2] Mason R.L., Guns R.F. and Hess J.L.
hữu hạn mờ trong phân tích tĩnh kết cấu, đối (2003), Statistical Design and Analysis of
Experiment: With Applications to
với số mờ tam giác tổng quát, trên cơ sở cải Engineering and Science, Second Editor,
tiến thuật toán đã có trong [4]. Với việc sử John Wiley & Sons.
dụng biến mờ chuẩn và đưa ra tiêu chí lựa [3] Nguyễn Hùng Tuấn, Lê Xuân Huỳnh
chọn mô hình đa thức bậc 2 đầy đủ một cách (2013), "Một thuật toán phần tử hữu hạn mờ
hợp lý, thuật toán đề xuất đã làm tăng độ phân tích tĩnh hệ thanh có tham số không
chắc chắn", Hội nghị Khoa học toàn quốc
chính xác đối với kết quả tính toán chuyển vị Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI, Hồ
mờ kết cấu qua ví dụ kiểm chứng. Chí Minh 7 - 9/11/2013.
[4] Möller B., Beer M. (2004), Fuzzy
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO Randomness – Uncertainty in Civil
[1] B.Bouchon, Meunier, Hồ Thuần, Đặng Engineering and Computational Mechanics,
Thanh Hà (2007), Logic mờ và ứng dụng, Springer, Dresden.
50
nguon tai.lieu . vn
