Xem mẫu
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
======
PHẠM THỊ HƯỜNG
MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG
TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
HÀ NỘI - 2018
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
======
PHẠM THỊ HƯỜNG
MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG
TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN HUY THẢO
HÀ NỘI - 2018
- LỜI CẢM ƠN
Tƣ ậ ố ệ ỏ
ò ế ơ sâ sắc t i TS. Nguyễn Huy Thảo ƣờ đã ú đỡ đị ƣ ng
ê ứu, cung cấp nhữ ệ q ý á ậ ƣ ng dẫn, tạo đ ều kiện
tốt nhất o o q á o oá ận tốt nghiệp.
ờ ả ơ ả ê Vậ ý ý ế ƣờ
ạ ọ sƣ ạ H N đã ợ ú đỡ o ờ ọ ậ
ƣ ệ ậ
Cuố ù xin cả ơ s đ ê ú đỡ c đ ạ è
L s ê ầ đầ ê ê ứu khoa họ ê oá ận chắc
chắn á ỏi s thiế s ậy rất mong nhậ đƣợc nhữ đ
ý ến c a thầ ạ è để oá ậ đƣợ o ệ ơ
T â ảm ơ !
Hà Nội, ngày.... tháng.... năm 2018
Sinh Viên
Phạm Thị Hường
- LỜI CAM ĐOAN
Cù v is ƣ ng dẫn c a TS. Nguyễn Huy Thảo, ậ ố ệ
ê Vậ ý ý ế đề M t số ơ sở oá ọ ƣờ ù o
vậ ý ƣợng tử” đƣợ á â c hiện T o q á ê ứ o
ả ận ảo m t số ệu c a m t số á ả đã
trong phầ ệu tham khảo.
T đo ững kết quả ê ứ o oá ậ o o
trung th ƣ ừ đƣợ ố trong bấ o ọ o
á .
Hà Nội, ngày.... tháng... năm 2018
Sinh Viên
Phạm Thị Hường
- MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ẦU .......................................................................................... 1
1. Lý o ọ đề ..................................................................................... 1
2. Mụ đ ê ứu ............................................................................... 2
3. ối ƣợ ạ ê ứu ........................................................... 2
4. Nhiệm vụ ê ứu............................................................................... 2
5. P ƣơ á ê ứu ......................................................................... 2
6. Cấ ú ận ................................................................................... 2
PHẦN 2: NỘI DUNG ...................................................................................... 3
CHƢƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƢỜNG DÙNG TRONG VẬT
LÝ LƢỢNG TỬ ............................................................................................... 3
11 K H e .................................................................................. 3
111K ế ........................................................................ 3
11 K H e ............................................................................ 5
1.1.3. S o ....................................................................................... 6
1.1.4. Hệ tr c chuẩn .................................................................................... 7
1 Toá ử oá ửt ê ợp tuyế á é oá ê oá ử........ 8
1 1 Toá ử .............................................................................................. 8
1 Toá ử ê ợ ế oá ử Hermite) ............................ 10
1 Cá é oá ê oá ử ............................................................... 10
1 H ê ị ê oá ử ......................................................... 12
1 Lý ế ề ể ễ ................................................. 14
1 1 Lý ết về .......................................................................... 14
1 Lý ế ể ễ ................................................................ 17
CHƢƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ....................................... 21
1 B oá ề H e ............................................................. 21
B oá ề ê ị ê oá ử ...................................... 23
B oá ề ểu diễ .................................................... 28
- PHẦN 3: KẾT LUẬN .................................................................................... 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 39
- PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vậ ý ọ o ữ o ọ ê ứ á q ậ ậ
đ ê ừ o đế
To s ố q á á ể ậ ý ầ đị
ứ ệ ụ Vậ ý đ ể đã đe ạ ề
ê ứ đạ ƣ: đị luậ q á định luậ ạ ậ ấp dẫ
ƣ ừ ạ ê ứ ế ể ải
đƣợc nhiều hiệ ƣợng trong t ê từ cấ đ đế o
vậy, s đời c a vậ ý ệ đại nhằm giả t số hiệ ƣợ ật ý
c để ƣ đƣợ ng thời vậ ý ệ đạ đã ại m á sâ
sắc c o ƣời về t ê ú đẩy s tiến b c o ƣờ N
s á ể ậ ý ệ đạ o ƣờ đã đ sâ o ê ứ
á áđ để ấ ế
Vậ ý ệ đạ - ò đƣợ ọ ậ ý ƣợ ử đƣợ e
o ọ ơ ả ở á đị ậ ậ ý ố ầ ế á o
ọ ê ác. Vậ ý ọc giao nhau v i nhiề ê ứ ê
á ƣ: vậ ý s ọc, ọ ƣợng tử i hạn
c a vậ ý Cá á ện m i trong vậ ý ƣờng giải
ữ ơ ế ơ ản c á o ọ á đ ng thời mở ra
nhữ ƣ ê ứu m i t o á ƣ oá ọc ho c triết học.
Vậ ý oá ọ ố ê ệ ậ ế á ơ sở oá ọ ƣ:
H e oá ử He e ê ị ê oá ử ữ
ế ứ ề ả ơ ọ ƣợng tử ê ậ ý ƣợ ử
V o ố mở ể ế ơ ề á ế ứ ê
ọ đề M t s c sở to n học thường d ng trong vật lý lư ng t
đề ậ ố ệ
1
- 2. Mục đích nghiên cứu
N ê ứu số ơ sở oá ọ sử ụ số ơ sở oá ọ o
ọ ậ ê ứ
3. Đ i tư ng và phạm vi nghiên cứu
K H e .
Toá ử oá ử Hermite.
H ê ị ê oá ử.
Lý ế ểu diễ
M t số ậ ê q
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
N ê ứ số ơ sở oá ọ ƣờ ù o ậ ý ƣợ ử
5. Phư ng ph p nghiên cứu
Sử ụ ƣơ á đọ ệ
Sử ụ oá ọ o ậ ý
Sử ụ ƣơ á ả oá ọ
6. Cấu trúc khóa luận
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: N i dung
Phần 3: Kết luận
2
- PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG
VẬT LÝ LƯỢNG TỬ
1.1. Không gian Hilbert
K H e t dạng t q á a E e
ị gi i hạn về vấ đề hữu hạn chiều. N mở r ng c á ƣơ
á đại số e ơ á oá từ m t ph ng Euclide hai chiề
gian ba chiều cho đến hữu hạn ho ạn chiều. M
H e e ơ ƣ ng, hay đƣợc hiể o đ
oả á đo đƣợc.
K H e xuất hiện m á t ê ƣờ ê o
oá ọ ậ ý ƣờ á ạn chiều Cá
gian Hilbert s m nhấ đƣợ ê ứu trong thập kỷ đầ ê a thế kỷ 20
bởi David Hilbert, Erhard Schmidt F es R esz C ú ữ ụ
ể thiế o á ý ết về á ƣơ â ừng phầ ơ
họ ƣợng tử é ế đ i Fourier ý ết ergodic ơ sở oá ọc c a
nhiệ đ ng l c học.
Cá H e o é á tr á ọc ể đƣợ á
dụ o t số ạn chiều. C ú ấp m t khung
để hệ thố q á á ệm chu i Fourier theo m t hệ bấ
c á số tr c giao é biế đ i Fourier ữ á ệm
â a giả K H e đ m t òq ọng
trong việ ứ oá ọc ơ ọ ƣợng tử.
1.1.1. Không gian tuyến tính
M ế ậ o đ á đị é c a
ầ ử é â ầ ử số é
é â á ấ ƣờng c é e ơ ọc
3
- é â e ơ ọc v i m t số. C á ơ m ậ X đƣợc gọi
m t ế ế ứng v i m i c p phần tử x, y c a X á đị
é é á ầ ử X ệ x+y é â
c á phần ử X số a ( a T , T ể ập số th c ho c phức,
ệ ax ỏ ã á ê đề s :
1. T ấ o oá : v ầ ử ất kỳ x, y X ta
x y y x.
2. T ất kết hợp: v i mọi x, y, z X ( x y) z x ( y z ).
3. T ạ ầ ử 0 X sao cho x 0 0 x x ọ x
e ơ
4. T ạ phần tử đơ ị 1.x x.1 x v i mọi x X .
5. a(bx) ab x a, b T x X.
6. a x y ax ay a T x, y X .
7. a b x ax bx a, b T x X.
8. T ạ ầ ử đố ( x) X ầ ử x X sao cho
x x 1 1 x 0.x 0.
Ở ê ố q ệ ữ á ầ ử aX á số a, b T . Nế a
số đị ế c. Nếu a số phứ
ế ức [1,3].
Cho hệ n e ơ x1 , x2 ,..., xn xn X , e ơ:
y a1 x1 a2 x2 ... an xn y X , ai T .
ƣợc gọ hợp tuyế á e ơ x1 , x2 ,..., xn .
Nếu a1 x1 a2 x2 ... an xn 0 t n tạ ất m o á ệ số
a1 , a2 ,..., an á ệ xn đƣợc gọ ụ thu c tuyế T ƣờng hợp
ƣợc lại nếu ai 0 ệ e ơ ê đƣợc gọ đ c lập tuyế
4
- N ƣờ đã ứ đƣợc rằng:
a. T o X t n tạ ất m t hệ tố đ p e ơ đ c lập tuyến
Cá ệ tố đ e ơ đ c lập tuyế o X đề số e ơ ằng p.
b. Nế ê o ệ p e ơ đ c lập tuyế am e ơ bấ x X
ệ (p + 1 e ơ ụ thu c tuyế :
a1x1 a2 x2 ... ap x p ap1 x 0.
V ất hệ số ap 1 c a x á : x a1 x1 a2 x2 ... a p x p .
c. T o X ể ều hệ ơ sở Cá ệ ơ sở c a X đều
số e ơ ằ ằng p N ƣời ta gọi p số chiều c X
ệu dim X p.
d. Phần tử X’ c X thỏ ã 8 ê đề về ến
e ơ đƣợc gọ o a X. N ƣời ta
chứng minh rằng dim X dim X [1].
K ế ƣờ đƣợc gọi e ơ á
phần tử c ọ á e ơ
1.1.2. Không gian Hilbert
M ế th c X đƣợ ọ ề H e ế
tro đ á định ế (x, y), gọ ƣ ng
e ơ x, y X á ấ s [4,7]:
1. ( y, x) x, y .
2. x y, z ( x, z) y, z .
3. ( x, x) 0 ( x, x) 0 x 0.
4. ( x, ay) a x, y a số
V ƣ đƣợ đị ở á ất từ 1– 4 ò t
đị ề chuẩn x c a m e ơ x ê X. x x, x .
5
- x t chuẩn ê X, gọ ẩn sinh bở ƣ ng
tiề H e đƣợ đị ƣ ê định chuẩn [5].
Định nghĩa 1: M ế i chuẩn x x, x đƣợc gọi
ền Hilbert [1].
V t ền Hilbert định chuẩ ê ọ á
niệm về định chuẩ đề á ụ o M tiền
H e ểđ đ .M ề H e đ gọ
gian Hilbert.
Định nghĩa 2: M ề H e t hệ ơ sở tr c chuẩ đ
đƣợc gọ H e [1].
To H e X e ơ x bấ ể khai triển theo hệ
ơ sở tr c chuẩ đ e :
n
x a1e1 a2e2 ... anen .
N â ƣ ng hai vế v i ek , :
ak ek , x k 1,2,..., n .
n
ak
2
Ta sẽ đ ứng minh: 1 khi x 1.
k 1
Thật vậy:
ak ak ek , x ak x, ek
2 *
k k k
x, ak ek x, x 1.
k
1.1.3. Sự trực giao
Định nghĩa
Định nghĩa 3: Cho H e X á ầ ử x, y X ƣờ
ta á e ơ x, y o ế x y ệ x, y 0.
6
- C c tính chất
1. Nế x y y x. T xx x 0.
2. Nế x y1 , y2 ,..., yn x a1 y1 a2 y2 ... an yn .
T ậ ậ x, a y1 1
... an yn a1 x, y1 ... an x, yn 0.
3. Nế x yn , yn y n x y.
T ậ ậ x, y lim( x, y ) 0.
n n
4. Nếu x1 ,..., xn đ t tr o
x1 x2 ... xn x1 x2 ... xn
2 2 2 2
đị ý Pythagore).
1.1.4. Hệ trực chuẩn
C o H e X.
1. Hệ e1, e2 ,... X ọ ệ ẩ ế :
0
e , e
i j ij
1
To đ : ei , e j 0 nếu i j.
e , e 1 nếu i j.
i j
N ƣ ậ en ệ ẩ ế en 1 n
ei e j i j .
2. Nếu en ệ ẩ ọ x X , số i ( x, ei ) ọ ệ số
Fo e x đố ei e
i 1
i i ọ Fo e x eo ệ
en .
3. M ệ ẩ en đƣợ ọ đầ đ e ơ
giao ấ ả á ầ ử ệ:
7
- x en (n 1,2,..) x 0.
1.2. To n t , to n t tự liên h p tuyến tính, c c phép to n trên to n t
N o ữ đạ ƣợng vậ ý đ ƣ ạ á ể đ ng c a hạt vi
o ƣ tọ đ ƣợ ƣợng,... ò ữ đại
ƣợng vậ ý ắn liền v i bản chất c a hạ ƣ ố ƣợ đệ
spin,... Trong ơ ọ ƣợng tử, m đạ ƣợng hay thu ậ ý đề đƣợc
đ ƣ ởi m oá ử.
1.2.1. To n t
Kh i niệm
C o X, dim X p Y, dimY q.
a. M é oá ođ ến phần tử x X ần tử y Y đƣợc
gọ á ạ K ệ é oá Aˆ , é oá biến x y
đƣợc viế ƣs [1]:
ˆ y ( x X , y Y )
Ax (1.1)
Á ạ Aˆ đƣợc gọ ế ếu:
Aˆ ai xi ai Ax
i i
i
ˆ , x X , a T
i i (1.2)
M t s to n t
Toán tử tuyến tính: T ê tuyế X, v i x, y X oá ử
Aˆ đƣợc gọ oá ử tuyế ếu thỏ ã đ ng thời hai đ ều kiện sau:
Aˆ x y Ax
ˆ Ay
ˆ v i x, y X (1.3)
Aˆ (ax) aAx
ˆ v i a bấ x X (1.4)
H 1 1 ƣơ đƣơ i nhau ể viết gọn lạ ƣs :
Aˆ a1x1 a2 x2 ... ak xk a1 Ax
ˆ a Ax
1 2
ˆ ... a Ax
2 k
ˆ .
k
To đ x1 , x2 ..., xk X ; a1, a2 ,..., ak ững số th c ho c phức bấ
8
- Toán tử đơn vị: T n tạ oá ử đơ ị oá ử á đ ng c ê
s đ s
ˆ .
I (1.5)
Toán tử ngược: Toá ử Aˆ 1 đƣợ ọ oá ử ƣợ Aˆ ế á đ
ƣợ oá ử Aˆ , ˆ y
ế Ax x Aˆ 1 y, x, y X .
Toán tử Unita: Toá ử Aˆ ọ oá ửU e ế oá ử Aˆ ị
:
Aˆ Aˆ 1 hay AA
ˆ ˆ Aˆ Aˆ I . (1.6)
Toán tử liên hợp oá ử oá ử ê ợ ằ
Aˆ Aˆ (1.7)
Chứng minh
Xé ƣ ng:
x , Axˆ A T .
i j ij
Ta gọi Aij ần tử (i, j) c oá ử Aˆ .
N ƣ ậy:
Ax
ˆ , x x , Ax
ˆ
*
i j j i A*ji Aij .
Tƣơ ứ á ần tử c oá ử Aˆ . Phần tử Aij đƣợc bằ á
vừa chuyển vị vừa lấ ê ợp phức c a phần tử Aij đƣợc gọ ần tử ê
hợp c a phần tử Aij . Tƣơ ứng v đề đ oá ử Aˆ đƣợc gọ oá ử
ê ợp c oá ử Aˆ .
Toán tử tự liên hợp (toán tử hermite)
Nếu xả đ ng thức
Aij Aij
9
- Tứ
x , Axˆ Axˆ , x
i j i j
Hay Aˆ Aˆ
oá ử Aˆ đƣợc gọ oá ửt ê ợ oá ử Hermite [1].
1.2.2. To n t tự liên h p tuyến tính to n t Hermite
ối v i m oá ử ế Aˆ đƣợc đị ê ến
Ф, ƣờ đị m oá ử Aˆ ƣs :
Aˆ x, y x, Ay
ˆ ọi x, y X . (1.8)
Cá oá ử Aˆ đƣợc gọ á oá ử ê ợp oá ử oá
ử Aˆ ế oá ử Aˆ Aˆ đƣợc gọ oá ử t ê ợ oá ử
Hermite. T o (1.8 đƣợc [4,5]:
Ax
ˆ , y x, Ay
ˆ ọi x, y X . (1.9)
Xé oá ừ Hermite Aˆ Aˆ Bˆ Bˆ . M t số chất c oá ừ
Hermite:
1. T ng c oá ử He e oá ử Hermite.
Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ .
2. T oá ử Hermite v i m t số oá ử Hermite nếu số đ
c.
ˆ
kA k Aˆ k Aˆ kAˆ , k k , k R .
3. T a hai oá ử He e oá ử He e oá ửđ o
oá i nhau.
AB
ˆ ˆ
Bˆ Aˆ BA
ˆ ˆ AB
ˆ ˆ.
1.2.3. C c phép to n trên to n t
10
- Xé oá ử Aˆ , Bˆ số f ấ á é sau:
1. P é oá
ử: Aˆ Bˆ f Af
ˆ Bf
ˆ hay Cˆ Aˆ Bˆ .
ˆ Cf
2. P é ừ oá
ử: Aˆ Bˆ f Af
ˆ Bf ˆ hay Dˆ Aˆ Bˆ .
ˆ Df
Vậ oá ử ậ ừ oá ử ằ é ừ P é
ấ o oá ế ợ
3. P é â oá ử: AB
ˆ ˆ f Aˆ ( Bf
ˆ ).
N ˆ ˆ BA
chung AB ˆ ˆ, Aˆ , Bˆ o oá ˆ ˆ BA
ƣợ ạ AB ˆ ˆ,
Aˆ , Bˆ o oá
P é ấ oá ử ấ o oá ê
ế ể ứ ầ úý ứ oá ử ƣ oá ửs
d d
Thí dụ 1: Aˆ ; Bˆ x; Pˆ Aˆ .Bˆ x.
dx dx
Cho P á ụ ê x ấ
d d x d
Pˆ x Aˆ .Bˆ x . x x x x 1 x x
dx dx dx
d
Vậ Pˆ Aˆ .Bˆ 1 x .
dx
T Bˆ . Aˆ
d d
Bˆ . Aˆ x x x Bˆ . Aˆ x .
dx dx
Dễ thấy rằ o ƣờng hợ ˆ ˆ BA
AB ˆ ˆ . N ƣ ậy, tứ oá
tử Aˆ Bˆ o oá .
Thí dụ 2: Cho Aˆ x 2 , Bˆ x, ta thấy ngay rằng:
ˆ ˆ BA
AB ˆ ˆ x3 .
11
- â ƣờng hợ oá ử o oá
4. Giao oá ử: Aˆ , Bˆ AB
ˆ ˆ BA
ˆ ˆ . Nế Aˆ , Bˆ 0
Aˆ , Bˆ gọ o
oá v i nhau, ƣợc lại Aˆ , Bˆ 0 Aˆ , Bˆ o oá i nhau.
1.3. Hàm riêng và trị riêng của to n t
Định nghĩa
Xé oá ử Aˆ á x , x bấ C o oá ử Aˆ á
dụ ê x bấ đƣợc m á x :
Aˆ x x (1.10)
Trong ƣờng hợp khi m oá ử Aˆ á ụ ê x,
chuyể t hằng số λ â :
Aˆ x x (1.11)
Trong ƣờng hợ ƣời ta gọi x ê c oá ử Aˆ , ò
λ đƣợc gọ á ị ê ị ê ƣơ ứng v ê x c oá
tử Aˆ . P ƣơ 1 11 đƣợc gọ ƣơ o á trị ê
ê c oá ử. Giả ƣơ 1 11) ể đƣợ ê ị
ê oá ử.
M oá ử ể ề ê ê ại ứng v i m t
trị riê ể viết lại (1.11 :
Aˆ n x n n x n 1,2,3,... (1.12)
To đ n x ê ứng v i trị ê n (n 1,2,3,...).
Tập hợp những trị ê oá ử đƣợc gọ c oá ửđ
12
- Nếu trị ê λ ữ á trị rời rạc, ta gọi ph c oá ử Aˆ
rời rạ ; ò ếu trị ê λ ữ á ị ê ục, ta gọi ph c oá ử Aˆ
ê ục. Ph c oá ử Aˆ vừ ể ê ục, vừ ể rời rạc.
Hàm riêng và trị riêng của to n t Hermite
T p ƣơ ê ị ê oá ử:
Aˆ x x .
T eo đị oá ử Hermite:
Aˆ , , Aˆ , ( Aˆ
Aˆ ).
Nếu oá ử Aˆ oá ử Hermite, á ê á ị ê
nhữ ất sau:
Cá á ị ê oá ử He e ững số th c.
P ƣơ o ị ê oá ử Hermite Aˆ o ƣờng hợ ị
ê á đoạ :
Aˆ n n n
V
n , Aˆ n Aˆ n , n
V Aˆ Aˆ n , Aˆ n Aˆ n , n , :
n n , n n n , n
n n n , n 0
V n , n 0 n n n c.
Vậ á ị ê oá ử He e ững số th c.
Cá ê ứng v á ị ê á oá ử Hermite
tr c giao v i nhau.
13
- T eo đị oá ử Hermite:
, Aˆ Aˆ ,
1 2 1 2
a1 1, 2 a2 1, 2
a1 a2 1, 2 0.
V a1 a2 a1 a2 0 1 , 2 0.
Do đ 1 , 2 tr c giao v i nhau.
Cá ê oá ử Hermite lậ t hệ đ .
Nế f x bấ á ê un x c oá ử Hermite
ể â :
f x c1u1 x c2u2 x c3u3 x ...
f x cnun x .
n
1.4. Lý thuyết về nhóm và bi u di n nhóm
1.4.1. Lý thuyết về nhóm
Định nghĩa
M ậ G á ầ ử a, b, c,... đƣợ ọ ế
oá ử é â ỏ ã ấ sau:
Tính kín: V ọ a, b G ọ a.b G.
Tính có đơn vị: T ê ậ ợ G ạ ầ ử đơ ị đƣợ
ệ e, sao cho:
a.e e.a a a G.
Tính có nghịch đảo: V m ầ ử o ậ G ầ ử
ị đảo :
a.a 1 a 1.a e, ọ a, a 1 G.
Tính chất kết hợp:
a. b.c a.b .c v ọ a, b, c G.
14
nguon tai.lieu . vn