- Trang Chủ
- Toán học
- Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 (Dùng cho sinh viên học các hệ Kinh tế)
Xem mẫu
- Chương 7
Hàm hai biến
Trong chương này ta sẽ phân tích sự phụ thuộc của một biến, chẳng hạn z
theo hai biến khác, chẳng hạn x và y.
7.1 Các khái niệm mở đầu
Hệ tọa độ, tập điểm, hàm số.
Cho xOy là một hệ toạ độ trong không gian R2 . Để đơn giản, ta lấy đó là
một hệ toạ độ trực chuẩn (hệ toạ độ vuông góc, đơn vị trên hai trục dài bằng
nhau).
• Khoảng cách giữa hai điểm M1 (x1 , y1 ) và M2 (x2 , y2 ) trong không gian
R2 được kí hiệu là M1 M2 và xác định bởi
p
M1 M2 := (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
• Tập các điểm của R2 , cách một điểm M0 cố định nhỏ hơn một số r > 0
cho trước gọi là một hình tròn mở tâm M0 , bán kính r. Mỗi hình tròn
mở như vậy được gọi là một lân cận của điểm M0 .
• Một "miền" trong mặt phẳng được hiểu là một tập liên thông, nghĩa
là bất kỳ hai điểm nào của tập đó cũng có thể nối được với nhau bởi
một đường cong liên tục gồm các điểm nằm hoàn toàn trong tập hợp
đó.
• Một tập hợp gọi là giới nội nếu tồn tại một hình tròn tâm O, có bán
kính hữu hạn chứa nó.
167
- • Điểm M gọi là điểm trong của tập E nếu tồn tại một lân cận của điểm
M nằm hoàn toàn trong E. Tập các điểm trong của E gọi là phần
trong của E.
• Tập E gọi là mở nếu mọi điểm của E đều là điểm trong.
• Điểm N được gọi là điểm biên của tập E nếu mọi lân cận của điểm N
đều chứa ít nhất một điểm thuộc E và một điểm không thuộc E. Tập
hợp tất cả những điểm biên của tập E được gọi là biên của E.
• Tập E được gọi là đóng nếu nó chứa tất cả các điểm biên.
• Dễ thấy tập E là đóng thì tập bù của nó trong không gian chứa nó là
mở và ngược lại.
Định nghĩa hàm hai biến
Định nghĩa 7.1 Cho tập E trên Oxy. Một quy luật f , đặt tương ứng mỗi
cặp giá trị (x, y) ∈ E của các biến x; y với một và chỉ một giá trị của
biến z bởi đẳng thức z = f (x, y) gọi là một hàm của hai biến độc lập x và
y. z gọi là biến hàm hay biến phụ thuộc. Tập E gọi là tập xác định. Tập
f (E) := {z = f (x, y) : (x, y) ∈ E} gọi là tập giá trị.
Ta cũng dùng cách kí hiệu sau để mô tả quan hệ hàm nói trên:
f : E → R : (x, y) 7→ z = f (x, y).
Chú ý. Phép tương ứng có thể được cho bởi một công thức giải tích. Trong
trường hợp đó, tập xác định của hàm là tập các điểm (x, y) sao cho tất cả
các phép tính trong công thức đó đều có nghĩa.
Đồ thị của hàm hai biến.
Cho hàm z = f (x, y) xác định trên tập E ⊆ (Oxy). Tập các điểm {(x, y, f (x, y)) :
(x, y) ∈ E} trong hệ tọa độ Oxyz của không gian ba chiều gọi là đồ thị của
hàm số đó. Đồ thị của các hàm hai biến thường là các mặt cong trong không
gian. Để dễ hình dung về đồ thị đôi khi người ta phác hoạ nó trên mặt phẳng.
Việc dùng một mặt phẳng để biểu diễn một cách chính xác một mặt không
gian là không thể. Hình vẽ biểu thị mặt cong đồ thị chỉ là một cách vẽ mô
phỏng, giúp ta có thêm một góc độ nhìn nhận về đồ thị đó mà thôi. Ta xét
ví dụ sau:
Ví dụ 7.1 Phác hoạ đồ thị hàm hai biến sau.
p
z = 1 − x2 − y 2 .
168
- Lời giải. Hàm số xác định với mọi x, y thoả mãn điều kiện
1 − x2 − y 2 ≥ 0 ⇔ x2 + y 2 ≤ 1
Như vậy tập xác định của hàm là hình tròn đóng tâm O bán kính đơn vị
trên mặt phẳng Oxy.
Ta có: (
p x2 + y 2 + z 2 = 1
z = 1 − x2 − y 2 ⇔
z ≥ 0.
Vậy, đồ thị của hàm là nửa mặt cầu tâm O bán kính đơn vị ở về phía z ≥ 0.
Ví dụ 7.2 Tìm tập xác định của hàm số
2x − 1
z = arccos + ln(xy).
x
Lời
- giải.
- Tập xác định của hàm là những x, y thoả mãn điều kiện
2x − 1 (
- ≤1 (2x − 1)2 ≤ x2
-
-
x ⇔
-
xy > 0 xy > 0
1 ≤ x ≤ 1
(
2
3x − 4x + 1 ≤ 0
⇔ ⇔ 3
xy > 0 y > 0.
n 1 o
Vậy, E = (x, y) : x ∈ [ ; 1], y ∈ (0; +∞) .
3
7.1.1 Giới hạn và tính liên tục của hàm hai biến
Giới hạn bội và giới hạn lặp.
Định nghĩa 7.2 Giả sử M0 (x0 , y0 ) là một điểm trong hoặc điểm biên của
miền E ⊆ (Oxy). Cho hàm z = f (x, y) xác định trên miền E. Số thực L
được gọi là giới hạn của f (x, y) khi M (x, y) dần tới M0 (x0 , y0 ) nếu với mọi
> 0 bé tùy ý luôn tìm được δ > 0 đủ bé sao cho với (x, y) ∈ E:
p
0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ ⇒ |f (x, y) − L| < .
Giới hạn này gọi là giới hạn bội của f (x, y) trong quá trình (x, y) → (x0 , y0 )
169
- và nó được kí hiệu như sau:
lim f (x, y) = L hoặc
x→x0
lim f (x, y) = L.
(x,y)→(x0 ,y0 )
y→y0
• Các định nghĩa khác cũng được phát biểu một cách tương tự:
lim f (x, y) = ±∞.
x→x0
y→y0
lim f (x, y) = L.
x→+∞
y→+∞
......
• Các giới hạn dưới đây gọi là các giới hạn lặp:
lim [ lim f (x, y)].
x→x0 y→y0
lim [ lim f (x, y)].
y→y0 x→x0
Quá trình (x, y) → (x0 , y0 ) trong giới hạn bội là tổng quát hơn so với trong
các giới hạn lặp. Vì vậy, khi hàm xác định trên một lân cận của M0 (có thể
trừ tại M0 ) mà giới hạn bội tồn tại thì các giới hạn lặp cũng tồn tại, bằng
nhau và bằng giới hạn bội. Không có kết luận ngược lại.
Với hàm hai biến ta cũng có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, hợp hàm.
Các hàm được xây dựng nhờ các phép tính như vậy trên các biểu thức sơ
cấp của x và y gọi là các hàm được cho bởi một biểu thức sơ cấp. Ta có kết
quả:
Mệnh đề 7.1 Nếu f (x, y) là hàm được cho bởi một biểu thức sơ cấp xác
định trên một lân cận của điểm (x0 , y0 ) thì
lim f (x, y) = f (x0 , y0 ).
x→x0
y→y0
Ví dụ 7.3 1)
xy 1.1 1
lim = = .
x→1
y→1
x2 +y 2 1+1 2
2) Giới hạn sau không tồn tại:
xy
lim .
x→0 x2 + y2
y→0
170
- Quả vậy. Xét hai quá trình riêng:
xy
lim [lim ] = lim 0 = 0.
y→0 x→0 x2 + y 2 y→0
xy x2 1
lim = lim = .
x→0
y=x→0
x2 + y 2 x→0
y=x→0
x 2 + x2 2
Trong hai quá trình riêng hàm số dần tới hai giới hạn khác nhau. Vậy, giới
hạn trên không tồn tại.
Tính liên tục của hàm hai biến.
Khái niệm hàm hai biến liên tục trên một tập mở là hoàn toàn tương tự như
trường hợp hàm một biến. Riêng với trường hợp tập đóng, tính liên tục tại
các điểm biên khó hình dung hơn do cách tiến của các điểm trong mặt phẳng
tới một điểm nào đó là đa dạng hơn so với các cách tiến trong R1 .
Định nghĩa 7.3 .
• Nói hàm f (x, y) liên tục tại điểm M (x0 ; y0 ) nếu hàm số xác định trên
một lân cận của M0 và
lim
x→x0
f (x, y) = f (x0 , y0 ).
y→y0
• Nói hàm f (x, y) liên tục trên một miền mở E nếu nó liên tục tại mọi
điểm của miền mở đó.
• Cho hàm f (x, y) xác định trên miền E và M (x0 ; y0 ) là một điểm biên
thuộc E. Nói hàm f (x, y) liên tục tại điểm biên M (x0 ; y0 ) trên miền E
hay liên tục tại điểm biên M (x0 ; y0 ) từ phía E nếu
lim f (x, y) = f (x0 , y0 ).
(x,y)∈E,(x,y)→(x0 ,y0 )
• Nói hàm z = f (x, y) liên tục trên miền E nếu nó liên tục tại mọi điểm
trong của E còn tại mọi điểm biên của E thuộc E hàm số liên tục từ
phía E.
Khi hàm số được cho bởi một biểu thức sơ cấp trên một miền nào đó thì tính
liên tục của hàm số đó được đảm bảo bởi tính chất các phép tính (tương tự
như với các hàm số một biến số). Do đó, ta có kết quả:
171
- Mệnh đề 7.2 Hàm số được cho bởi một biểu thức sơ cấp xác định trên miền
E thì liên tục trên miền E.
Chú ý.
1) Tính liên tục của hàm hai biến tại một điểm trong của tập xác định là
tương tự như với hàm một biến. Riêng sự liên tục tại các điểm biên trên tập
E ta cần lưu ý: Hệ thức
lim f (x, y) = f (x0 , y0 )
(x,y)→(x0 ,y0 )
chỉ cần thoả mãn với những cặp giá trị (x, y) ∈ E.
2) Ta có thể dùng kí hiệu
lim f (M = f (M0 ), thay cho lim f (x, y) = f (x0 , y0 ).
M →M0 (x,y);(x,y)→(x0 ,y0 )
Nếu dùng kí hiệu này ta thấy không có sự khác biệt trong R1 ; R2 , việc mở
rộng khái niệm liên tục là tự nhiên hơn.
Ví dụ 7.4 Xét tính liên tục của hàm số sau trên R2 .
xy
khi (x, y) 6= (0, 0),
z = x2 + y 2
0 khi (x, y) = (0, 0).
Lời giải. +) Trên tập R2 \ O(0, 0) hàm số luôn xác định và được cho dưới
dạng một biểu thức sơ cấp. Vậy hàm số liên tục trên tập đó.
+) Tại O(0, 0) hàm số không liên tục vì giới hạn
xy
lim
x→0
y→0
x2 + y2
không tồn tại (xem Ví dụ 7.3).
Ví dụ 7.5 Xét tính liên tục của hàm số sau trên R2 .
(
1 khi x2 + y 2 ≤ 1
z=
0 khi x2 + y 2 > 1.
Lời giải. +) Trên tập E = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1} và trên R2 \ E hàm số luôn
xác định và được cho dưới dạng các biểu thức sơ cấp. Vậy hàm số liên tục
trên các tập đó.
172
- +) Tại các điểm biên của hình tròn E dễ thấy hàm số gián đoạn (giới hạn
từ phía E và từ phía R2 \ E không như nhau).
7.1.2 Đạo hàm và vi phân của hàm hai biến
Phụ thuộc vào các cách tiến khác nhau của (∆x, ∆y) tới (0, 0) ta có các
khái niệm khác nhau về đạo hàm của hàm hai biến. Dưới đây ta nêu một loại
đạo hàm đơn giản nhất, tương ứng với hai cách tiến đặc biệt của M (x, y) tới
M0 (x0 , y0 ) (hay (∆x, ∆y) tới (0, 0)).
Đạo hàm riêng cấp một.
Định nghĩa 7.4 Giả sử hàm z = z(x, y) xác định trên tập {(x + ∆x), y} với
∆x đủ bé về trị tuyệt đối và giới hạn sau tồn tại, hữu hạn:
z(x + ∆x, y) − z(x, y)
lim .
∆x→0 ∆x
Khi đó nói hàm số có đạo hàm riêng theo biến x tại (x, y) và giới hạn trên
gọi là đạo hàm riêng của hàm số đó theo biến x tại điểm (x, y). Đạo hàm
∂z(x, y)
này được kí hiệu là zx0 (x, y) hoặc .
∂x
Tương tự ta có khái niệm đạo hàm riêng của hàm z theo biến y tại (x, y).
Trong thực hành, để tính zx0 (x, y) ta chỉ việc coi y là hằng số và lấy đạo hàm
của z(x, y) theo biến x. Tính zy0 (x, y) bằng cách tương tự.
Đạo hàm riêng cấp cao.
Giả sử hàm z = z(x, y) có các đạo hàm riêng trên tập mở E. Khi đó, bản
thân các đạo hàm riêng đó cũng là các hàm hai biến. Chúng có thể có các
đạo hàm riêng. Trong trường hợp đó ta định nghĩa:
z”xx (x, y) := (zx0 (x, y))0x ; z”yy (x, y) := (zy0 (x, y))0y .
z”xy (x, y) := (zx0 (x, y))0y ; z”yx (x, y) := (zy0 (x, y))0x .
Nếu tại (x, y) các đạo hàm "chéo" z”xy (x, y); z”yx (x, y) đều liên tục thì chúng
bằng nhau (định lý Schwartz).
Một cách tương tự ta có thể định nghĩa cho các đạo hàm riêng cấp nguyên
dương n tuỳ ý.
Người ta cũng dùng các kí hiệu sau để chỉ các đạo hàm riêng các cấp:
∂z(x, y) ∂z(x, y) ∂ 2 z(x, y)
zx0 (x, y) = ; zy0 (x, y) = ; z”xx (x, y) = ;
∂x ∂y ∂x2
173
- ∂ 2 z(x, y) ∂ 2 z(x, y)
z”yy (x, y) = ; z”xy (x, y) = ; ...
∂y 2 ∂x∂y
Ví dụ 7.6 Tính các đạo hàm riêng đến cấp hai của các hàm số sau:
a) z = xy .
y
b) z = arctan .
x
Lời giải.
a)
zx0 (x, y) = yxy−1 ; zy0 (x, y) = xy ln x; z”xx (x, y) = y(y − 1)xy−2 ;
z”yy (x, y) = xy ln2 x; z”xy (x, y) = z”yx (x, y) = yxy−1 ln x + xy−1 .
b)
y 1
− 2 y x
zx0 = xy 2 = − 2 2
; zy0 = x =
y 2 ;
x +y x + y2
2
1+ 1+
x x
00
y 0 2xy 00
x 0 −2xy
zxx = − 2 2
= 2 2 2
; zyy = = 2 ;
x + y x (x + y ) x + y y (x + y 2 )2
2 2
00 00
y 0 (x2 + y 2 ) − y.2y y 2 − x2
zxy = zyx = − 2 = − = .
x + y2 y (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2
Vi phân toàn phần.
Ta vẫn dùng kí hiệu ∆x; ∆y để chỉ số gia của các biến x; y.
Định nghĩa 7.5 Giả sử hàm z = z(x, y) xác định trên một lân cận của điểm
(x, y). Với ∆x, ∆y đủ nhỏ về trị tuyệt đối sao cho (x + ∆x; y + ∆y) cũng
thuộc lân cận đó. Khi đó nếu tồn tại các hàm A(x, y); B(x, y) sao cho
z(x + ∆x, y + ∆y) − z(x, y) = A(x, y)∆x + B(x, y)∆y + α(∆x) + β(∆y)
đó α(∆x); β(∆y) là các vô cùng bé bậc cao hơn ∆x; ∆y trong quá
trong p
trình ∆x2 + ∆y 2 → 0 thì ta nói hàm số đó khả vi tại (x, y) và biểu thức
dz := A(x, y)∆x + B(x, y)∆y.
gọi là vi phân toàn phần của hàm số đó tại (x, y).
174
- Hàm số gọi là khả vi trên tập mở E nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc E.
Dễ thấy: dx = ∆x; dy = ∆y, do đó:
dz := A(x, y)dx + B(x, y)dy.
Tính khả vi của các hàm hai biến là một khái niệm khó. Hàm số có các đạo
hàm riêng, thậm chí có các đạo hàm riêng liên tục tại M0 (x0 , y0 ) thì cũng
chưa chắc đã khả vi tại điểm đó. Vì vậy, ta sẽ không tìm hiểu sâu hơn mà
chỉ công nhận kết quả sau:
Định lí 7.1 Nếu hàm z = z(x, y) có các đạo hàm riêng theo x và theo y trên
một lân cận của điểm M (x, y) và các đạo hàm riêng đó liên tục tại M (x, y)
thì hàm số khả vi tại điểm đó và
dz = zx0 (x, y)∆x + zy0 (x, y)∆y.
Tính gần đúng bằng vi phân toàn phần.
Việc dùng một biểu thức dạng tuyến tính để xấp xỉ cho một biểu thức dạng
phi tuyến là rất phổ biến trong Toán học cũng như trong các lĩnh vực khác.
Ký hiệu ∆z := z(x + ∆x, y + ∆y) − z(x, y), từ định nghĩa của vi phân toàn
phần ta có kết quả:
Mệnh đề 7.3 Nếu hàm z = z(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm
(x, y) thì với ∆x, ∆y nhỏ về trị tuyệt đối (so với 1) ta có xấp xỉ
∆z ∼
= dz.
Từ đây ta lại có hệ quả:
Hệ quả 7.1.1 Nếu hàm z = z(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm
(x, y) thì với ∆x, ∆y nhỏ về trị tuyệt đối ta có xấp xỉ
z(x + ∆x, y + ∆y) ∼
= z(x, y) + zx0 (x, y)∆x + zy0 (x, y)∆y.
Chú ý.
1) Hai công thức gần đúng trên đây cho phép ta thay việc tính toán một
biểu thức thường là phức tạp (dạng phi tuyến) bởi một biểu thức đơn giản
hơn (dạng tuyến tính đối với ∆x, ∆y).
2) Nói chung khi ∆x, ∆y càng bé về trị tuyệt đối thì sai số hệ thống càng
nhỏ, phép xấp xỉ càng tốt.
3) Cũng như trong phép tính gần đúng bằng vi phân (hàm một biến), kết
175
- quả các phép tính xấp xỉ luôn được viết ở dạng số thập phân, độ chính xác
tuỳ theo yêu cầu ở đầu bài.
Ví dụ 7.7 Tính gần đúng biểu thức sau
p p
A = ln( 8, 9900 − 3 8, 0500).
Lời giải. Xét√hàm hai biến
√
z = ln( x − 3 y) tại điểm M (9; 8) với ∆x = −0, 01; ∆y = 0, 05.
√ √
Ta có: z(9; 8) = ln( 9 − 3 8) = ln 1 = 0.
1
zx0 (x, y) = √ √ √ ⇒ zx0 (9; 8) = 16 .
2 x( x − 3 y)
1
zy0 (x, y) = − p √ √ ⇒ zy0 (9; 8) = − 12
1
.
3 2
3 y ( x − y) 3
Thay vào công thức gần đúng, ta được
1 1
A∼
= 0 + (−0, 01) − (0, 05) = −0, 0058.
6 12
Vi phân cấp cao
Ta cũng có khái niệm vi phân toàn phần cấp hai:
d2 z := d(dz) = z”xx ∆x2 + 2z”xy ∆x∆y + z”yy ∆y 2 ,
cấp n: dn z := d(dn−1 z).
7.2 Hàm ẩn
Cho đẳng thức giữa hai biến x và y
F (x, y) = 0 (7.1)
trên một tập E ⊆ (Oxy). Giả sử điểm M0 (x0 , y0 ) ∈ E, thoả mãn đẳng thức
trên, nghĩa là:
F (x0 , y0 ) = 0. (7.2)
Trong nhiều trường hợp, từ đẳng thức (7.1) có thể tồn tại một quan hệ hàm
một biến số của y theo x hoặc của x theo y. Trong trường hợp đó ta nói đẳng
thức (7.1) xác định một hàm ẩn trên lân cận đó. Định lý dưới đây cho biết
sự tồn tại của hàm ẩn và công thức tính đạo hàm của nó mà không đòi hỏi
phải biết biểu thức tường minh của hàm số. Lưu ý rằng dù hàm ẩn tồn tại
176
- thì việc tìm dạng tường minh của nó không phải bao giờ cũng cần thiết và
không phải bao giờ cũng thực hiện được.
Định lí 7.2 Cho đẳng thức giữa hai biến x, y: F (x, y) = 0 và điểm M0 (x0 , y0 )
thoả mãn hệ thức F (x0 , y0 ) = 0. Giả sử hàm F (x, y) có các đạo hàm riêng
liên tục tại M0 và Fy0 (x0 , y0 ) 6= 0. Khi đó tồn tại một lân cận của M0 sao
cho trên đó xác định được một hàm ẩn của y theo x. Hàm này liên tục tại
F 0 (x0 , y0 )
x0 , thoả mãn các hệ thức y0 = y(x0 ) và y 0 (x0 ) = − x0 .
Fy (x0 , y0 )
Chú ý.
• Nếu điều kiện của Định lý 7.2 thoả mãn tại mọi điểm (x, y) ∈ E
thỏa mãn đẳng thức trên thì có thể xác định hàm tường y = y(x) với
F 0 (x, y)
y 0 (x) = − x0 , ∀(x, y) ∈ E tại lân cận của các điểm đó.
Fy (x, y)
• Người ta cũng thường dùng kí hiệu như sau:
-
0 0
-
Fx (x, y) F
-
0
:= x0
nguon tai.lieu . vn
