Xem mẫu
- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
QUẢNG NGÃI NĂM 2021 2022
Môn thi: TOÁN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
ĐỀ BÀI
Bài 1. (2,0 điểm)
1. Thực hiện phép tính: 7 16 + 2 9 .
2. Cho hàm số y = x 2 có đồ thị ( P) .
a) Vẽ ( P)
b) Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm của ( P) và đường thẳng (d) : y = − x + 2 .
Bài 2: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) x 2 + x − 12 = 0 .
2 x − y = −3
b)
x + 3y = 4
2. Cho phương trình (ẩn x ): x 2 − 2( m + 2)x + m 2 + 7 = 0 .
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm m để x 12 + x 22 = x 1x 2 + 12 .
Bài 3: (1,5 điểm)
Quãng đường A B gồm một đoạn lên dốc dài 4 km . một đoạn bằng phẳng dài 3 km và một
đoạn xuống dốc 4km dài 6 km (như hình vẽ). Một người đi xe đạp từ A đến B và quay về
A ngay hết tổng cộng 130 phút. Biết rằng vận tốc người đó đi trên đoạn đường bằng phẳng
là 12 km / h và vận tốc xuống dốc lớn hơn vân tốc lên dốc 5 km / h (vận tốc lên dốc, xuống
dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc của người đó.
- 3 cm
4 cm 6 cm
A
B
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O , R ) và điểm S nằm bên ngoài đường tròn, SO = d . Kẻ các tiếp tuyến với
đường tròn ( A , B là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng 4 điểm S , O , A , B cùng thuộc một đường tròn.
b) Trong trường hợp d = 2 R , tính độ dài đoạn thẳng A B theo R .
c) Gọi C là điểm đối xứng của B qua O . Đường thẳng SC cắt đường tròn (O ) tại D (khác
C ). Hai đường thẳng A D và SO cắt nhau tại M . Chứng minh rằng SM 2 = M D .MA.
d) Tìm mối liên hệ giữa d và R để tứ giác OA M B là hình thoi.
Bài 5: (1,0 điểm) Cho x là số thực bất kỳ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x2 + 7 x2 + 3
T= +
x2 + 3 x2 + 7
- HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. (2,0 điểm)
1. Thực hiện phép tính: 7 16 + 2 9 .
Ta có: 7 16 + 2 9 = 7.4 + 2.3 = 34 .
2. Cho hàm số y = x 2 có đồ thị ( P) .
a) Vẽ ( P)
Vẽ đồ thị hàm số ( P) : y = x 2 .
Tập xác định: D = ﾡ
a = 1 > 0 , hàm số đồng biến nếu x > 0 , hàm số nghịch biến nếu x < 0
Bảng giá trị
x −2 −1 0 1 2
y = x2 4 1 0 1 4
Đồ thị hàm số y = x 2 là đường cong Parabol đi qua điểm O , nhận Oy làm trục đối xứng, bề
lõm hướng lên trên.
b) Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm của ( P) và đường thẳng (d) : y = − x + 2 .
Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa ( P) và đường thẳng (d) ta được:
x 2 = −x + 2 � x 2 + x − 2 = 0
- x =1
Ta có: a + b + c = 1 + 1 − 2 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt c
x = = −2
a
Với x = 1 ta có y = 12 = 1 .
Với x = −2 ta có y = ( −2)2 = 4 .
Vậy đồ thị ( P) cắt (d) tại hai điểm (1;1),( −2;4) .
Bài 2: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) x 2 + x − 12 = 0 .
Phương trình: x 2 + x − 12 = 0 có: a = 1 , b = 1 , c = −12
Ta có: ∆ = 12 − 4 ��
1 ( −12) = 49
−1 + 49 −1 − 49
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 1 = = 3 , x 2 = = −4
2 1 2 1
2 x − y = −3
b)
x + 3y = 4
11
2 x − y = −3 2 x − y = −3 −7 y = −11 � 7y =
� �
� �� �� ��
x + 3y = 4 2x + 6 y = 8 �x = 4 − 3 y �x = −5
7
�−5 11 �
Vậy hệ phương trình có nghiệm � ; �.
�7 7 �
2. Cho phương trình (ẩn x ): x 2 − 2( m + 2)x + m 2 + 7 = 0 .
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Phương trình x 2 − 2( m + 2)x + m 2 + 7 = 0 có: ∆ = ( m + 2)2 − m 2 − 7 = 4 m − 3 .
3
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ∆ > 0 � 4 m − 3 > 0 � m > .
4
3
Vậy với m > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
4
- b) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm m để x 12 + x 22 = x 1x 2 + 12 .
3 x + x 2 = 2m + 4
Với m > , theo định li Viet ta có: 1
4 x 1x 2 = m 2 + 7
Theo bài ra ta có:
x 12 + x 22 = x 1 x 2 + 12
� ( x 1 + x 2 ) − 2 x 1x 2 = x 1x 2 + 12
2
� ( x 1 + x 2 ) − 3x 1x 2 − 12 = 0
2
( )
� (2 m + 4)2 − 3 m 2 + 7 − 12 = 0
� 4 m 2 + 16 m + 16 − 3m 2 − 21 − 12 = 0
� m 2 + 16 m − 17 = 0
m = 1(tm )
Ta có a + b + c = 1 + 16 − 17 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt c .
m = = −17( ktm )
a
Vậy m = 1 .
Bài 3: (1,5 điểm)
Quãng đường A B gồm một đoạn lên dốc dài 4 km . một đoạn bằng phẳng dài 3 km và
một đoạn xuống dốc 4km dài 6 km (như hình vẽ). Một người đi xe đạp từ A đến B và
quay về A ngay hết tổng cộng 130 phút. Biết rằng vận tốc người đó đi trên đoạn đường
bằng phẳng là 12 km / h và vận tốc xuống dốc lớn hơn vân tốc lên dốc 5 km / h (vận tốc
lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc của
người đó.
3 cm
4 cm 6 cm
A
B
13
Đổi 130 phút = ( h)
6
- Gọi vận tốc lúc lên dốc của người đó là x ( km / h)( x > 0) . Thì vận tốc lúc xuông dốc là
x + 5( km / h) .
4 4
Thời gian lúc lên dốc, xuống dốc trên quãng đường 4 km lần lượt là: ( h) và ( h) .
x x+5
3 1
Thời gian lúc đi trên quãng đường 3 km là = ( h)
12 4
6 6
Thời gian lúc lên và xuống dốc trên quầng đường 6 km lần lượt là: ( h) và ( h) .
x x+5
4 1 6
Tổng thời gian đi từ A đến B là: + + ( h)
x 4 x+5
6 1 4
Tổng thời gian đi từ B đến A là: + + ( h)
x 4 x+5
13
Tổng thời gian cả đi cả về là bẳng h nên ta có phương trình:
6
4 1 6 6 1 4 13
+ + + + + =
x 4 x+5 x 4 x+5 6
10 1 10 13
� + + =
x 2 x+5 6
10( x + x + 5) 5
� =
x ( x + 5) 3
2x + 5 1
� =
x ( x + 5) 6
� 6(2 x + 5) = x ( x + 5)
� x 2 − 7 x − 30 = 0
Ta có ∆ = ( −7)2 − 4.( −30) = 169 = 13 2 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
7 + 13
x= = 10(tm )
2 .
7 − 13
x= = −3( ktm )
2
Vậy vận tốc lúc lên dốc là 10 km / h và vận tốc lúc xuống dốc là 15 km / h .
Bài 4: (3,5 điểm)
- Cho đường tròn (O , R ) và điểm S nằm bên ngoài đường tròn, SO = d . Kẻ các tiếp tuyến
với đường tròn ( A , B là các tiếp điểm).
A C
D
S O
M H
B
a) Chứng minh rằng 4 điểm S , O , A , B cùng thuộc một đường tròn.
ﾡ O + SBO
Tứ giác SA OB có : SA ﾡ = 90 + 90 = 180
Suy ra tứ giác SA OB nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 ).
Suy ra 4 điểm S , A , O , B cùng thuộc một đường tròn.
b) Trong trường hợp d = 2 R , tính độ dài đoạn thẳng A B theo R .
Gọi H là giao điểm giữa A B và SO
Có SA , SB là hai tiếp tuyến cắt nhau nên SA = SB S thuộc trung trực của A B .
OA = OB = R nên O thuộc trung trực của A B .
SO là trung trực của A B
� A B ⊥ SO và H là trung điểm của A B .
Tam giác SA O vuông tại A nên SA = SO 2 − OA 2 = 4 R 2 − R 2 = R 3
SA �
AO R 3 �
R 3
Ta giác SA O vuông tại A có: A H ⊥ SO nên A H = = = R
SO 2R 2
3
Vậy A B = 2 A H = 2 � R = R 3 .
2
c) Gọi C là điểm đối xứng của B qua O . Đường thẳng SC cắt đường tròn (O ) tại D
(khác C ). Hai đường thẳng A D và SO cắt nhau tại M . Chứng minh rằng
SM 2 = M D .M A
- ﾡ SO = A
Tứ giác SA OB nội tiếp (cmt ) nên A ﾡ BO = A
ﾡ BC( hai góc nội tiếp cùng chắn cung A O
).
Trong (O ) có: ﾡA DC = A
ﾡ BC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung A C )
ﾡ
Mặt khác SDM ﾡ DC (hai góc đối đỉnh)
=A
ﾡ SO = A
Suy ra A ﾡ CD � M
ﾡ SA = SDM
ﾡ .
ﾡ D = SM
SM ﾡ A
Xét ∆SM D và ∆A M S có:
ﾡ
SDM =Mﾡ SA (cmt )
SM M D
� ∆SMD ∽ ∆A M S ( g �
g) � = � SM 2 = M D .M A
A M SM
d) Tìm mối liên hệ giữa d và R để tứ giác OA M B là hình thoi.
Hai tam giác SA D và SCA có góc Sˆ chung và SA
ﾡ D = SCA
ﾡ nên đồng dạng. Suy ra
SA SD
= � SA 2 = SC.SD
SC SA
SC SO
Ma SA 2 = SH .SO nên SC.SD = SH .SO � = .
SH SD
Lại có góc Sˆ chung nên các tam giác SCO và SHD đồng dạng, suy ra SCO
ﾡ ﾡ
= SHD
ﾡ H = SCO
Kết hợp với DA ﾡ ﾡ ), ta có
(cùng chắn cung BD
ﾡ H + DHA
DA ﾡ ﾡ
= SCO ﾡ
+ DHA ﾡ
= SHD ﾡ
+ DHA = 90
Suy ra HD ⊥ A D . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông M HA , ta có
M H 2 = M D M A , kết hợp với SM 2 = M D .M A ta được M là trung điểm của SH . Tứ giác
M A OB có hai đường chéo vuông góc tại H và HA = HB nên M A OB là hình thoi khi và chì
1 1
khi HO = HM � SO = 3OH � OS .OH = OS 2 � OA 2 = OS 2 � d = R 3
3 3
Bài 5: (1,0 điểm) Cho x là số thực bất kỳ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x2 + 7 x2 + 3
T= +
x2 + 3 x2 + 7
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
x2 + 7
=
(x 2
)
+3 +4
= x2 + 3 +
4
�2 x2 + 3 �
4
=2 4 =4
x2 + 3 x2 + 3 x2 + 3 x2 + 3
- x2 + 7 1 x2 + 3
Đặt: a = ��
4 = 2
x2 + 3 a x +7
1 �a 1 � 15a
�T = a+ = + �+
a ��16 a � 16
a 1 15.4 1 15 17
�2 � �+ = + =
16 a 16 2 4 4
(Bất đẳng thức côsi)
Dấu "=" xảy ra khi và chi khi:
a 1 x2 + 7
= � a=4 � =4
16 a x2 + 3
a= 4
( ) ( )
2
� x2 + 7 = 4 x2 + 3 � x2 + 7 = 16 x 2 + 3
� x 4 + 14 x 2 + 49 = 16 x 2 + 48
� x 4 − 2x 2 + 1 = 0
( )
2
� x2 − 1 = 0
� x 2 = 1 � x = �1
17
Vậy m in T = � x = �1
4
nguon tai.lieu . vn
