Xem mẫu
- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM 2021 2022
Môn thi: TOÁN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
ĐỀ BÀI
Câu 1 (2,0 điểm). Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = 8 − 32 + 50 .
� a + a �� a − a �
b) B = �
�
3+ �3 −
��
�� � (
� với
a 0, a 1) .
� a + 1 �� a − 1 �
Câu 2 (1,5 điểm).
a) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = ( m − 1)x + 2 đồng biến trên ﾡ .
3x + 2 y = 8
b) Giải hệ phương trình .
3x − 4 y = 2
Câu 3 (2,0 điểm).
Cho phương trình x 2 − 6 x + m + 4 = 0 (1) (với m là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi m = 1 .
b) Tìm tất cả các giá trị của m đề phương trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn
2020 ( x 1 + x 2 ) − 2021x 1 x 2 = 2014
a+ b 1
Câu 4 (1,0 điểm ). Cho a, b là các số thực dương. Chứng m inh .
a(15a + b) + b(15b + a) 4
Câu 5 (3,5 điểm). Cho đường tròn (O ; R ) đường kính A B , dây cung M N vuông góc với A B
tại I sao cho A I < BI . Trên đoạn thẳng M I lấy điểm H ( H khác M và I ), tia A H cắt
đường tròn (O ; R ) tại điểm thứ hai là K . Chúmg minh rằng:
a) Tứ giác BIHK nội tiếp đường tròn.
b) ∆A HM đồng dạng với ∆A M K .
c) A H � A B = 4R 2 .
A K + BI �
- HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1 (2,0 điểm):
Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = 8 − 32 + 50
A = 8 − 32 + 50
A = 22 �
2 − 42 �
2 + 52 �
2
A = 2 2 −4 2 +5 2
A = (2 − 4 + 5) 2
A =3 2
Vậy A = 3 2 .
� a + a �� a − a �
b) B = �3+ �3 − a 0, a 1) .
� a + 1
��
�� a − 1 � (với
�
� �� �
Với a 0, a 1 ta có:
� a + a �� a − a �
B=�3+ �3 −
�� �
� a + 1 �� a −1�
� �� �
� a( a + 1) �� a( a − 1) �
B=�3+ �3 −
�� �
� a + 1 �� a −1 �
� �� �
B = (3 + a ) �
(3 − a )
B=9−a
Vậy với a 0, a 1 thì B = 9 − a .
Câu 2 (1,5 điểm):
a) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = ( m − 1)x + 2 đồng biến trên ﾡ .
Để hàm số y = ( m − 1)x + 2 đồng biến trên ﾡ , thì m − 1 > 0 � m > 1 .
Vậy hàm số y = ( m − 1)x + 2 đồng biến trên ﾡ khi m > 1 .
- 3x + 2 y = 8
b) Giải hệ phương trình
3x − 4 y = 2
�3x + 2 y = 8 6y = 6
� �y = 1 y =1
Ta có: � �� �� ��
3x − 4 y = 2 3x + 2 y = 8 3x + 2 = 8 x=2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x ; y ) = (2;1) .
Câu 3 (2,0 điểm):
Cho phương trình: x 2 − 6 x + m + 4 = 0 (1) (m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1 .
Với m = 1 thì (1) trở thành x 2 − 6 x + 5 = 0 .
x =1
Ta có a + b + c = 1 − 6 + 5 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt c .
x= =5
a
Vậy khi m = 1 thì tập nghiệm của phương trình là S = {1;5}.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn
2020 ( x 1 + x 2 ) − 2021x 1 x 2 = 2014.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 � ∆ > 0 � 9 − m − 4 > 0 � 5 − m > 0 � m < 5
.
x1 + x 2 = 6
Khi đó áp dụng hệ thức Vi ét ta có
x 1x 2 = m + 4
Khi đó ta có:
2020 ( x 1 + x 2 ) − 2021x 1 x 2 = 2014
� 2020.6 − 2021.( m + 4) = 2014
� 12120 − 2021m − 8084 = 2014
� 2021m = 2022
2022
�m= (tm )
2021
2022
Vậy m = .
2021
- Câu 4 (1,0 điểm):
a+ b 1
Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh .
a(15a + b) + b(15b + a) 4
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
16 a + 15a + b 31a + b
16 a(15a + b) =
2 2
16b + 15b + a 31b + a
16b(15b + a) =
2 2
31a + b + 31b + a
� 16 a(15a + b) + 16b(15b + a) � = 16( a + b)
2
� a(15a + b) + b(15b + a) �4( a + b)
a+ b 1
(đpcm)
a(15a + b) + b(15b + a) 4
Câu 5 (3,5 điểm):
Cho đường tròn (O ; R ) đường kính A B , dây cung M N vuông góc với A B tại I sao cho
A I < BI . Trên đọan thẳng M I lấy điểm H ( H khác M và I ), tia A H cắt đường tròn
(O ; R ) tại điểm thứ hai là K . Chứng minh rằng:
K
M
H
A B
I O
N
a) Tứ giác BIHK nội tiếp đường tròn.
Ta có ﾡA KB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) � BKH
ﾡ = 90�.
ﾡ
Xét tứ giác BIHK có: BIH ﾡ
+ BKH = 90 + 90 = 180 nên BIHK là tứ giác nội tiếp (dhnb).
b) ∆A HM đồng dạng với ∆A M K .
ﾡ M B = 90 (góc nội tiểp chắn nừa đường tròn).
Ta có: A
- ﾡ M H + BM
�A ﾡ H = 90�� A
ﾡ MH + A
ﾡ BM = 90�
ﾡ BM = A
Lại có A ﾡ MH = A
ﾡ KM ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung A M ) � A ﾡ KM .
ﾡ A K chu ng
M
Xét ∆A HM và ∆A M K có: � ∆A HM ∽ ∆A M K( g �
g) .
ﾡA M H = A
ﾡ KM (cmt )
c) A H . A K + BI �
A B = 4R 2 .
AH AM
Vì ∆A HM ∽ ∆A M K (cmt ) � = (2 cạnh tương ứng) � A H . A K = A M 2 .
AM AK
Xét tam giác vuông A BM có đường cao M I ta có: BI �
BA = BM 2 (hệ thức lượng trong tam
giác vuông).
� A H . A K + BI .A B = A M 2 + BM 2 .
Mà ∆A BM vuông tại M (cmt ) nên áp dụng định lí Pytago ta có
A M + BM = A B = (2 R ) = 4 R .
2 2 2 2 2
Vậy A H . A K + BI .A B = 4 R 2 (đpcm)
nguon tai.lieu . vn
