Xem mẫu
- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG Năm học: 2021 2022
Môn thi: TOÁN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Bài 1. (2,0 điểm)
1) Tính A = 4 + 3. 12.
� x x+4� x
2) Cho biểu thức B = � + �: x − 2 x với x > 0; x
�2 + x 4 − x � 4 .
� �
Rút gọn B và tìm tất cả các giá trị nguyên của x để B < − x .
Bài 2. (1,5 điểm)
Cho hàm số y = x 2 có đồ thị ( P ) và đường thẳng ( d ) : y = kx − 2k + 4 .
a) Vẽ đồ thị ( P ) . Chứng minh rằng ( d ) luôn đi qua điểm C ( 2; 4 ) .
b) Gọi H là hình chiếu của điểm B ( −4; 4 ) trên ( d ) . Chứng minh rằng khi k thay đổi ( k 0)
thì diện tích tam giác HBC không vượt quá 9cm 2 ( đơn vị đo trên các truc tọa độ là xentimét).
Bài 3. (1,5 điểm)
Cho phương trình x + 4 ( m − 1) x − 12 = 0 ( *) , với m là tham số.
2
a) Giải phương trình ( *) khi m = 2.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( *) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
thỏa mãn 4 x1 − 2 . 4 − mx 2 = ( x1 + x2 − x1 x2 − 8 ) .
2
Bài 4. (1,5 điểm)
1) Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 2021 và hiệu của số lớn và số bé bằng
15.
2) Một địa phương lên kế hoạch xét nghiệm SARSCOV2 cho 12000 người trong một thời gian
quy định. Nhờ cải tiến phương pháp nên mỗi giờ xét nghiệm được thêm 1000 người. Vì thế, địa
phương này hoàn thành sớm hơn kế hoạch là 16 giờ. Hỏi theo kế hoạch, địa phương này phải xét
nghiệm trong thời gian bao nhiêu giờ?
Bài 5. (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC , các đường cao BD, CE ( D �AC , E �AB ) cắt nhau tại H .
a) Chứng minh rằng tứ giác BEDC nội tiếp.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường tròn đường kính AH cắt AM tại điểm G ( G khác
A ). Chứng minh rằng AE. AB = AG. AM .
ﾷ
c) Hai đường thẳng DE và BC cắt nhau tại K . Chứng minh rằng MAC ﾷ
= GCM và đường
thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác MBE , MCD song song với đường thẳng KG.
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
1 / 9
- Hướng dẫn giải:
Bài 1. (2,0 điểm)
1) Tính A = 4 + 3. 12.
� x x+4� x
2) Cho biểu thức B = � + �: x − 2 x với x > 0; x
�2 + x 4 − x � 4 .
� �
Rút gọn B và tìm tất cả các giá trị nguyên của x để B < − x .
Lời giải
1) Tính A = 4 + 3. 12.
Ta có: A = 4 + 3. 12 = 22 + 3.12 = 2 + 36 = 2 + 6 = 8.
2) Với x > 0; x 4 .
� x x+4� x
B=� + �: x − 2 x
�2 + x 4 − x �
� �
� x x −2
B=� −
( ) x+4
�
�: x
(
� x +2 . x −2
� )( ) ( )(
x +2 . )
x −2 � x
� ( x −2 )
x−2 x −x−4 x ( x − 2)
B=
( x +2 . )( x −2 ) x
B=
−2 ( x +2 ) �
x ( x −2 ) = −2 .
( x +2 . )( x −2 ) x x
−2
Vậy với x > 0; x 4 thì B = .
x
−2
Xét B < − x � < − x � −2 < − x � x < 2
x
Mà x ﾷ và x > 0; x 4 nên x = 1.
Bài 2. (1,5 điểm)
Cho hàm số y = x 2 có đồ thị ( P ) và đường thẳng ( d ) : y = kx − 2k + 4 .
a) Vẽ đồ thị ( P ) . Chứng minh rằng ( d ) luôn đi qua điểm C ( 2; 4 ) .
b) Gọi H là hình chiếu của điểm B ( −4; 4 ) trên ( d ) . Chứng minh rằng khi k thay đổi ( k 0)
thì diện tích tam giác HBC không vượt quá 9cm 2 ( đơn vị đo trên các truc tọa độ là xentimét).
Lời giải
a) Vẽ đồ thị ( P ) . Chứng minh rằng ( d ) luôn đi qua điểm C ( 2; 4 ) .
* Vẽ đồ thị ( P )
x 2 1 0 1 2
y 4 1 0 1 4
2 / 9
- Vậy đồ thị ( P ) là parabol đi qua các điểm ( −2;4) , ( −1;2) , ( 0;0) , ( 1;1) , ( 2;4) .
y
y = x2
O 1 x
* Chứng minh rằng ( d ) luôn đi qua điểm C ( 2; 4 ) .
Giả sử C ( d) � yC = k.xC − 2k + 4
� 4 = k.2 − 2k + 4
� 4 = 4 ( đúng)
Vậy ( d ) luôn đi qua điểm C ( 2; 4 ) .
b)
y y = x2
(d)
B C
H
O 1 x
Ta có: H là hình chiếu của điểm B ( −4; 4 ) trên ( d ) � BH ⊥ HC ( vì C ( d) )
� ∆HBC vuông tại H � BC2 = BH 2 + HC2 ( định lý pytago)
1
Có: SBHC = .BH.HC
2
a2 + b2
Áp dụng bất đẳng thức a.b , ta được:
2
1 1 BH 2 + CH 2 BC2
SBHC = .BH.HC . = ( 1)
2 2 2 4
Mà BC = xC − xB = 2 − ( −4) = 6 = 6 ( 2)
Thay ( 2) vào ( 1) ta được: SBHC 9 (cm2 )
BH = HC
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi � BH = HC = 3 2
BH + HC2 = BC2 = 36
2
3 / 9
- Vậy khi k thay đổi ( k 0 ) thì diện tích tam giác HBC không vượt quá 9cm 2
Bài 3. (1,5 điểm)
Cho phương trình x + 4 ( m − 1) x − 12 = 0 ( *) , với m là tham số.
2
a) Giải phương trình ( *) khi m = 2.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( *) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
thỏa mãn 4 x1 − 2 . 4 − mx 2 = ( x1 + x2 − x1 x2 − 8 ) .
2
Lời giải
a) Với m = 2 thì phương trình ( *) trở thành: x 2 + 4 x − 12 = 0
� x2 + 6x − 2x − 12 = 0
� x ( x + 6) − 2 ( x + 6) = 0
� ( x + 6) ( x − 2) = 0
x+6= 0 �
� x = −6
�� ��
x − 2 = 0 �x = 2
�
Vậy với m = 2 thì phương trình ( *) có tập nghiệm là S = { −6; 2} .
b) Phương trình ( *) có a.c = 1. ( −12) = −12 < 0 nên luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
x1 + x2 = −4m + 4
Theo định lí Viet ta có: ( 1)
x1.x2 = −12
Vì x2 là nghiệm của phương trình ( *) nên ta có: x2 + 4 ( m − 1) x2 − 12 = 0
2
� x22 + 4mx2 − 4 x2 − 12 = 0
� x22 + 4 ( mx2 − 4 ) − 4 x2 + 4 = 0
� 4 ( 4 − mx2 ) = x22 − 4 x2 + 4
� 4 ( 4 − mx2 ) = ( x2 − 2)
2
( x2 − 2)
2
� 2. 4 − mx2 =
� 2. 4 − mx2 = x2 − 2 ( 2)
Mà theo bài có: 4 x1 − 2 . 4 − mx 2 = ( x1 + x2 − x1 x2 − 8 ) ( 3)
2
Thay ( 1) , ( 2) vào ( 3) ta được: 2. x1 − 2 . x2 − 2 = [ −4m + 4 + 12 − 8]
2
� 2. x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) + 4 = ( 8 − 4m )
2
� 2. −12 − 2 ( −4m + 4 ) + 4 = 64 − 64m + 16m 2
� 2. −16 + 8m = 16 ( m 2 − 4m + 4 )
� 16. m − 2 = 16 ( m − 2 )
2
� m − 2 = ( m − 2)
2
4 / 9
- � ( m − 2) = ( m − 2)
2 4
� ( m − 2) − ( m − 2) = 0
4 2
�m − 2 = 0 m= 2
�
( m − 2) = 0 m−2 =0
2
� ( m − 2) . �
( m − 2 ) − 1� ��m− 2 = 1 � �
2 2
=0 � � m= 3
� �
( m − 2 ) − 1 = 0 ( m − 2 ) = 1 �m − 2 = −1 �
�
2 2
� m=1
� �
Vậy m { 1;2;3}
Bài 4. (1,5 điểm)
1) Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 2021 và hiệu của số lớn và số bé bằng
15.
2) Một địa phương lên kế hoạch xét nghiệm SARSCOV2 cho 12000 người trong một thời gian
quy định. Nhờ cải tiến phương pháp nên mỗi giờ xét nghiệm được thêm 1000 người. Vì thế, địa
phương này hoàn thành sớm hơn kế hoạch là 16 giờ. Hỏi theo kế hoạch, địa phương này phải xét
nghiệm trong thời gian bao nhiêu giờ?
Lời giải
1) Gọi số lớn là x ( x > 15, x ﾷ ) , số bé là y ( y ﾷ ) .
Tổng của hai số là 2021 nên ta có phương trình: x + y = 2021 ( 1)
Hiệu của số lớn và số bé bằng 15 nên ta có phương trình: x − y = 15 ( 2 )
�x + y = 2021 �2 x = 2036 x = 1018 ( t/m )
Từ ( 1) , ( 2 ) ta có hệ phương trình: � �� ��
� x − y = 15 �x − y = 15 y = 1003 ( t/m )
Vậy số lớn là 1018, số bé là 1003.
2) Gọi số người được xét nghiệm trong một giờ theo dự định là x (người) ( x < 12000, x ﾷ * )
12000
Theo kế hoạch, thời gian để địa phương đó xét nghiệm hết 12000 người là ( giờ)
x
Thực tế, số người được xét nghiệm trong một giờ là x + 1000 (người)
12000
Thực tế, thời gian địa phương đó xét nghiệm hết 12000 người là ( giờ)
x + 1000
Do địa phương hoàn thành kế hoạch sớm hơn 16 giờ nên ta có phương trình:
12000 12000
− = 16
x x + 1000
� 12000 ( x + 1000 ) − 12000 x = 16 x ( x + 1000 )
� 12000 x + 12000000 − 12000 x = 16 x 2 + 16000 x
� 16 x 2 + 16000 x − 12000000 = 0
� x 2 + 1000 x − 750000 = 0
� x 2 + 1500 x − 500 x − 750000 = 0
� x ( x + 1500 ) − 500 ( x + 1500 ) = 0
5 / 9
- � ( x + 1500 ) ( x − 500 ) = 0
x + 1500 = 0 x = −1500 ( kh� ng th� n)
a m�
� �
x − 500 = 0 x = 500 ( th�a m�n)
12000
Vậy theo kế hoạch, địa phương này cần = 24 (giờ) để xét nghiệm xong.
500
Bài 5. (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC , các đường cao BD, CE ( D �AC , E �AB ) cắt nhau tại H .
a) Chứng minh rằng tứ giác BEDC nội tiếp.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường tròn đường kính AH cắt AM tại điểm G ( G khác
A ). Chứng minh rằng AE. AB = AG. AM .
ﾷ
c) Hai đường thẳng DE và BC cắt nhau tại K . Chứng minh rằng MAC ﾷ
= GCM và đường
thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác MBE , MCD song song với đường thẳng KG.
Lời giải
A
D
E G
H
B C
M
a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp.
Xét tứ giác BEDC có:
ﾷ
BDC = 90o (BD là đường cao)
ﾷ
BEC = 90o (CE là đường cao)
ﾷ
� BDC =ﾷ BEC = 90o , mà hai góc này kề nhau cùng nhìn đoạn BC một góc bằng 90 .
o
BEDC là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AE. AB = AG. AM .
Xét tứ giác AEHD có:
ﾷ
AEH ﾷ
= ADH = 90o (gt)
ﾷ
� AEH ﾷ
+ ADH = 90o + 90o = 180o , mà hai góc này ở vị trí đối nhau.
AEHD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH .
� ﾷAGE = ﾷADE (góc nội tiếp cùng chắn AEﾷ ) ( 1)
ﾷ
Ta có: tứ giác BEDC nội tiếp (cma) � EBC = ﾷADE (góc ngoài của tứ giác nội tiếp) ( 2)
6 / 9
- Từ ( 1) , ( 2) � ﾷAGE = EBC
ﾷ hay ﾷAGE = ﾷABM
Xét ∆AGE và ∆ABM có:
ﾷ chung
A
ﾷAGE = ﾷABM (cmt)
� ∆AGE : ∆ABM (g g)
AG AB
� = � AE.AB = AG.AM (đpcm)
AE AM
c)
A
N D
E G
H J
I
K
B C
M
ﾷ )
Xét đường tròn đường kính AH có: ﾷAGD = ﾷAED (góc nội tiếp cùng chắn AD
ﾷ
Mà AED ﾷ
= DCB (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác BEDC )
ﾷ
� AGD ﾷ
= ACB ﾷ
= DCM
ﾷ
Lại có: AGD ﾷ
+ DGM ﾷ
= 180o (kề bù) � DGM ﾷ
+ DCM = 180o ,mà hai góc này ở vị trí đối nhau
GDCM là tứ giác nội tiếp
ﾷ
� MGC ﾷ
= MDC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC ) ( 1)
1
Lại có: DM = BC = MC (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông) � ∆MCD cân tại M .
2
ﾷ
� MDC ﾷ
= MCD (hai góc ở đáy của tam giác cân) ( 2)
Từ ( 1) , ( 2) � MGC
ﾷ ﾷ
= MCD ﾷ
hay � MGC ﾷ
= MCA
Xét ∆GCM và ∆CAM có:
ﾷ
AMC chung
ﾷ
MGC ﾷ
= MCA (cmt)
� ∆GCM : ∆CAM (g g)
ﾷ
� MAC ﾷ
= GCM (hai góc tương ứng) (đpcm)
Ta có: ﾷAGE = ﾷABM (cmb) hay ﾷAGE = EBM
ﾷ
7 / 9
- ﾷ
Mà: AGE ﾷ
+ EGM ﾷ
= 180o (kề bù) � EBM ﾷ
+ EGM = 180o ,mà hai góc này ở vị trí đối nhau
EBGM là tứ giác nội tiếp ( * * )
Ta có hai tứ giác EBGM , GDCM là các tứ giác nội tiếp Đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp
hai tam giác MBE, MCD là đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác EBGM , GDCM .
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EBGM , J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác GDCM
Mà giao của hai tứ giác EBGM , GDCM là GM
� IJ ⊥ GM ( * )
Gọi { F} = AH ﾷ
BC � AF ⊥ BC � AFB = 90o
ﾷ
Xét tứ giác ADFB có: AFB ﾷ
= BDA = 90o , mà hai góc này ở vị trí kề nhau
ADFB là tứ giác nội tiếp.
ﾷ
� BAC ﾷ
= DFM (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp) ( 3)
ﾷ
Mà EDH ﾷ
= EAH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH ) ( 4)
1
Lại có: DM =
BC = BM (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông) � ∆MBD cân tại M .
2
ﾷ
� BDM ﾷ
= DBM ﾷ
hay � HDM ﾷ
= DBM
ﾷ
Mà DBM ﾷ
= HAD ﾷ
(cùng phụ với ACB )
ﾷ
� HDM ﾷ
= HAD ( 5)
Từ ( 3) , ( 4) , ( 5) � EDM
ﾷ ﾷ
= EDH ﾷ
+ HDM ﾷ
= EAH ﾷ
+ HAD ﾷ
= BAC ﾷ
= DFM ﾷ
= KDM
Xét ∆FDM và ∆DKM có:
ﾷ
KMD chung;
ﾷ
DFM ﾷ
= KDM (Cmt)
MD FM
� ∆FDM : ∆DKM (g g) � = � MD 2 = FM.KM
KM MD
MC GM
Có: ∆GCM : ∆CAM (cmt) � = � MC2 = MG.MA
AM MC
FM MA
Mà MD = MC (cmt) � FM .KM = MG.MA � =
GM MK
� ∆FGM : ∆AKM (cgc) � FGM
ﾷ ﾷ
= AKM (hai góc ương ứng)
AGFK là tứ giác nội tiếp ( tứ giác có goc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện).
ﾷ
� AFK ﾷ
= AGK = 90o (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK )
� KG ⊥ AG hay KG ⊥ GM ( * * )
Từ ( * ) , ( * * ) IJ // KG
Vậy đường tròn nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác MBE, MCD song song với KG .
8 / 9
- 9 / 9
nguon tai.lieu . vn
