Xem mẫu
- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TỈNH NINH BÌNH Năm học: 2021 2022
Môn thi: TOÁN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Bài 1. (2 điểm)
1) Hàm số y = 2 x − 3 là hàm đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao?
2) Rút gọn biều thức A = 18 − 2 50 + 3 8
x − y =1
3) Giải hệ phương trình
2x + y = 5
Bài 2. (2,5 điểm)
Cho phương trình x 2 + mx + m − 1 = 0 (1) với m là tham số
a) Giải phương trình (1) với m = 3 .
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
c) Gọi x1 , x2 là hai ghiệm của phương trình (1) . Tìm giá trị của m để P = x12 + x22 đạt giá trị
nhỏ nhất.
Bài 3. (1 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km . Khi đi từ B trử về A người đó tăng vận tốc
thêm 4km /h vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tình vận tốc của người đi xe đạp khi
đi từ A đến B .
Bài 4. (3,0 điểm)
1) Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC
với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
b) Vẽ cát tuyến ADE với đường tròn không đi qua tâm O của đường tròn ( D nằm giữa A và
E ), gọi M là trung điểm của DE . Chứng mính MA là phân giác của góc BMC .
2) Một dụng cụ đựng chất lỏng có dạng hình trụ với chiều cao 3dm và bán kính đáy 2dm . Dụng
cụ này đựng được bao nhiêu lít chất lỏng? (Bỏ qua độ dày của thành và đáy thùng, lấy π 3,14 ).
Bài 5. (3,0 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn phương trình x 2 + 2 y 2 + 2 xy = 1 .
2) Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a + b 2 = 2ab 2
1 1 1
Chứng minh rằng 4 4 + 2 8 .
a + b + 2ab a + b + 2a b
4 2 2
2
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
1 / 5
- Hướng dẫn giải:
Bài 1. (2 điểm)
1) Hàm số y = 2 x − 3 là hàm đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao?
2) Rút gọn biều thức A = 18 − 2 50 + 3 8
x − y =1
3) Giải hệ phương trình
2x + y = 5
Lời giải:
1) Hàm số y = 2 x − 3 có a = 2 > 0 nên hàm số đồng biến trên R .
2) A = 3 2 − 10 2 + 6 2 = − 2
x − y =1 3x = 6 x=2
3) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 2;1)
2x + y = 5 2x + y = 5 y =1
Bài 2. (2,5 điểm)
Cho phương trình x 2 + mx + m − 1 = 0 (1) với m là tham số
a) Giải phương trình (1) với m = 3 .
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
c) Gọi x1 , x2 là hai ghiệm của phương trình (1) . Tìm giá trị của m để P = x12 + x22 đạt giá trị
nhỏ nhất.
Lời giải:
a) Với m = 3 phương trình (1) có dạng x 2 + 3 x + 2 = 0
Ta có a − b + c = 1 − 3 + 2 = 0 nên phương trình có hai nghệm phân biệt x1 = −1; x2 = −2
b) Ta có ∆ = m 2 − 4(m − 1) = m 2 − 4m + 4 = (m − 2) 2 0 với mọi giá trị của m . Chứng tỏ
phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
c) Gọi x1 , x2 là hai ghiệm của phương trình (1) .
x1 + x2 = −m
Theo định lí Viet ta có:
x1.x2 = m − 1
Ta có P = x12 + x22 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2
= (− m) 2 − 2( m − 1) = m2 − 2m + 2
= (m − 1) 2 + 1 1 với mọi giá trị của m . P = 1 � m = 1
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi m = 1 .
Bài 3. (1 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km . Khi đi từ B trử về A người đó tăng vận tốc
thêm 4km /h vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tình vận tốc của người đi xe đạp khi
đi từ A đến B .
Lời giải:
1
Đổi 30' = h
2
Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là x ( x > 0, km /h ).
2 / 5
- 24
Thời gian người đi xe đạp đi từ A đến B là ( h)
x
Vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ B đến A là x + 4(km /h) .
24
Thời gian người đi xe đạp đi từ B đến A là ( h)
x+4
24 24 1
Theo bài ra ta có phương trình: − =
x x+4 2
� 2.24( x + 4) − 2.24 x = x( x + 4)
� x 2 + 4 x − 192 = 0 Giải phương trình ta được hai nghiệm x1 = 12(Tm) ; x2 = −16( Ktm)
Vậyvận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là 12km /h
Bài 4. (3,0 điểm)
1) Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC
với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
b) Vẽ cát tuyến ADE với đường tròn không đi qua tâm O của đường tròn ( D nằm giữa A và
E ), gọi M là trung điểm của DE . Chứng mính MA là phân giác của góc BMC .
2) Một dụng cụ đựng chất lỏng có dạng hình trụ với chiều cao 3dm và bán kính đáy 2dm . Dụng
cụ này đựng được bao nhiêu lít chất lỏng? (Bỏ qua độ dày của thành và đáy thùng, lấy π 3,14 ).
Lời giải:
1)
a) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
B
A O
C
Vì AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn tâm O nên ﾷABO = ﾷACO = 900
Do đó tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp (Hai đỉnh B, C cùng nhìn AO dưới một góc vuông)
b) Vẽ cát tuyến ADE với đường tròn không đi qua tâm O của đường tròn ( D nằm giữa
A và E ), gọi M là trung điểm của DE . Chứng mính MA là phân giác của góc BMC .
3 / 5
- B
E
M
D
O
A
C
Vì M là trung điểm của dây DE không đi qua tâm nên OM ⊥ DE hay OMA
ﾷ = 900
Do đó M thuộc đường tròn đường kính AO mà tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO
nên 5 điểm A, B, M , O, C cùng thuộc một đường tròn.
Xét đường tròn đường kính AO có ﾷAB = ﾷAC (do AB = AC tính chất hai tiếp tuyến căt nhau)
Suy ra ﾷAMB = ﾷAMC ( Hệ quả góc nội tiếp)
Vậy MA là phân giác của góc BMC
2) Một dụng cụ đựng chất lỏng có dạng hình trụ với chiều cao 3dm và bán kính đáy 2dm .
Dụng cụ này đựng được bao nhiêu lít chất lỏng? (Bỏ qua độ dày của thành và đáy thùng, lấy
π 3,14 ).
Thể tích của hình trụ đựng chất lỏng đó là: V = π r 2 h 3,14.22.3 37,68(dm3 )
Đổi 37,68dm3 = 37,68l
Vậy dụng cụ đó đựng được 37,67 lít chất lỏng
Bài 5. (3,0 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn phương trình x 2 + 2 y 2 + 2 xy = 1 .
2) Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a + b 2 = 2ab 2
1 1 1
Chứng minh rằng 4 4 + 2 8 .
a + b + 2ab a + b + 2a b
4 2 2
2
Lời giải:
1) Ta có x 2 + 2 y 2 + 2 xy = 1 .
� ( x + y ) + y 2 = 1
2
Vì x, y nguyên nên ( x + y ) , y 2 nguyên, mà ( x + y )
2 2
0, y 2 0 nên ta có:
( x + y) ( x + y)
2 2
=0 =1
hoặc
y2 = 1 y2 = 0
4 / 5
- �x = −1
y =1
( x + y)
2
=0 x = −y
+) � 2 � x =1
y =1 y= 1
y = −1
�x = −1
y=0
( x + y)
2
=1 x= 1
+) � 2 � x =1
y =0 y=0
y=0
Vậy các cặp số nguyên ( x, y ) cần tìm là ( x, y ) �{ ( 1; −1) ; ( −1;1) ; ( 1;0 ) ; ( −1;0 ) }
2) Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a + b 2 = 2ab 2
1 1 1
Chứng minh rằng 4 4 + 2 8 .
a + b + 2ab a + b + 2a b
4 2 2
2
1 1 1
Đặt x = a; y = b 2 ta có x + y = 2 xy ta cần chứng minh + 2
x + y + 2 xy
4 2 2
x + y + 2x2 y
4
2
x4 + y 2 2 x2 y
Thật vậy, theo bất đẳng thức Cô – si ta có:
x2 + y 4 2 xy 2
1 1 1
Suy ra =
x + y + 2 xy 2
4 2
2 x y + 2 xy
2 2
2 xy ( x + y )
1 1 1
=
x + y + 2x2 y
2 4
2 xy + 2 x y 2 xy ( x + y )
2 2
1 1 1 1 1
+ 2 + =
x + y + 2 xy
4 2 2
x + y + 2x2 y
4
2 xy ( x + y ) 2 xy ( x + y ) xy ( x + y )
1 2
Vì x + y = 2 xy nên =
xy ( x + y ) ( x + y ) 2
2( x + y)
2
� ( x + y ) �2 ( x + y ) � x + y �2
2
Mặt khác x + y = 2 xy
4
1 2 1
Suy ra =
xy ( x + y ) ( x + y ) 2
2
1 1 1
Do đó + 2 .
x + y + 2 xy
4 2
2
x + y + 2x2 y
4
2
5 / 5
nguon tai.lieu . vn
