Xem mẫu
- PHÇN I: c¸C BµI TO¸N VÒ Sè Vµ CH÷ Sè
phÇn i: sè Vµ CH÷ Sè
Tạ Văn Khôi
I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí
1. Dïng 10 ch÷ sè ®Ó viÕt sè lµ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9.
2. Cã 10 sè cã 1 ch÷ sè: (Tõ sè 0 ®Õn sè 9)
Cã 90 sè cã 2 ch÷ sè: (tõ sè 10 ®Õn sè 99)
Cã 900 sè cã 3 ch÷ sè: (tõ sè 100 ®Õn 999)
…
3. Sè tù nhiªn nhá nhÊt lµ sè 0. Kh«ng cã sè tù nhiªn lín nhÊt.
4. Hai sè tù nhiªn liªn tiÕp h¬n (kÐm) nhau 1 ®¬n vÞ.
5. C¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0, 2, 4, 6, 8 gäi lµ sè ch½n. Hai sè ch½n liªn tiÕp h¬n
(kÐm) nhau 2 ®¬n vÞ.
6. C¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1, 3, 5, 7, 9 gäi lµ sè lÎ. Hai sè lÎ liªn tiÕp h¬n (kÐm)
nhau 2 ®¬n vÞ.
II. Bµi tËp
Bµi 1: Cho 4 ch÷ sè 2, 3, 4, 6.
a) Cã bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè trªn? §ã lµ
nh÷ng sè nµo?
b) Cã bao nhiªu sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè trªn? H·y viÕt
tÊt c¶ c¸c sè ®ã?
Bµi gi¶i
LËp b¶ng sau ta ®-îc:
Hµng Hµng chôc Hµng ®¬n vÞ ViÕt ®-îc sè
tr¨m
2 3 4 234
2 3 6 236
2 4 3 243
2 4 6 246
2 6 3 263
2 6 4 264
NhËn xÐt: Mçi ch÷ sè tõ 4 ch÷ sè trªn ë vÞ trÝ hµng tr¨m ta lËp ®-îc 6 sè cã 3
ch÷ sè kh¸c nhau. Vëy cã tÊt c¶ c¸c sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau lµ: 6 x 4 = 24
(sè).
T-¬ng tù phÇn (a) ta lËp ®-îc: 4 x 6 = 24 ( sè)
C¸c sè ®ã lµ: 2346; 2364; 2436; 2463; 2643; 2634; 3246; 3264; 3426; 3462; 3624;
3642; 4236; 4263; 4326; 4362; 4623; 4632; 6243;6234; 6432; 6423.
Bµi 2: Cho 4 ch÷ sè 0, 3, 6, 9.
a) Cã bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè trªn?
b) T×m sè lín nhÊt vµ sè bÐ nhÊt cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè
trªn?
Bµi gi¶i
a, Chän ch÷ sè hµng tr¨m cã ba c¸ch: ( kh«ng chän sè 0)
Chän ch÷ sè hµng chôc cã ba c¸ch :
Chän ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cã hai c¸ch:
Sè c¸c sè cã ba ch÷ sè lµ:3 3 2 18 (sè)
b, Sè lín nhÊt lµ: 9630; sè bÐ nhÊt lµ: 3069
Bµi 3: a) H·y viÕt tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè mµ tæng c¸c ch÷ sè cña nã b»ng
3?
Bµi gi¶i
V× 3 = 3+0+0 ta cã c¸c sè :300;120;102;210;201;111
= 1+2+0
=2+1+0
=1+1+1
1
- Bµi 4: Cho sè 1960. Sè nµy sÏ thay ®æi nh- thÕ nµo? H·y gi¶i thÝch?
a) Xo¸ bá ch÷ sè 0. b) ViÕt thªm ch÷ sè 1 vµo sau
sè ®ã.
c) §æi chç hai ch÷ sè 9 vµ 6 cho nhau.
Bµi gi¶i
a, Xãa bá ch÷ sè 0 sè ®ã gi¶m 10 lÇn;
b, ViÕt thªm ch÷ sè 1 vµo bªn ph¶i sè ®ã sè ®ã gÊp lªn 10 lÇn vµ 1 ®¬n vÞ;
c,Khi ®æi ch÷ sè 9 vµ sè 6 cho nhau ta cã : 1960 - 1690 = 270 (®¬n vÞ)
Bµi 5: Hái cã bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè mµ mçi sè cã:
a) 1 ch÷ sè 5 b) 1 ch÷ sè 6.
Bµi gi¶i
a, Chän ch÷ sè 5 ë hµng tr¨m: Cã 1 c¸ch chän : chän 5 ( L-u ý v× bµi to¸n
kh«ng yªu cÇu c¸c ch÷ sè kh¸c nhau)
-Chän ch÷ s« hµng chôc cã 9 c¸ch:( chän 0;1;2;3;4;6;7;8;9)
- Chän Ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cã 9 cÊch : ( chän 0;1;2;3;4;6;7;8;9)
Ta cã : 1 9 9 81 (sè)
b, Chän ch÷ sè 5 ë hµng chôc 1 c¸ch : ( chän 5)
- Chän ch÷ sè hµng tr¨m cã 8 c¸ch:
- Chän ch÷ sè hµng ®¬n vÞ 9 c¸ch:
Ta cã : 1 8 9 72 (sè)
c, Chän ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 5 cã 1 c¸ch.T-¬ng tù ta cã : 1 8 9 72 (sè)
Tæng c¸c sè lËp ®-îc lµ: 81+72+72= 225 (sè)
§¸p sè: 225 sè.
Bµi 6: Cho ba ch÷ sè: a, b, c kh¸c ch÷ sè 0 vµ a > b; b > c.
a) Víi ba ch÷ sè ®ã, cã thÓ lËp ®-îc bao nhiªu sè cã ba ch÷ sè? (trong c¸c sè,
kh«ng cã ch÷ sè nµo lÆp l¹i hai lÇn)
b) TÝnh nhanh tæng cña c¸c sè võa viÕt ®-îc, nÕu tæng cña ba ch÷ sè a, b, c lµ
18.
c) NÕu tæng cña c¸c sè cã ba ch÷ sè võa lËp ®-îc ë trªn lµ 3330, hiÖu cña sè
lín nhÊt vµ sè bÐ nhÊt trong c¸c sè ®ã lµ 594 th× ba ch÷ sè a, b, c lµ bao
nhiªu?
Bµi gi¶i
a) 6 sè
b) 222 (a b c) =222 18=3996
c) Theo kÕt qu¶ ý b) ta cã: 222 (a b c) =3330 Hay a+b+c =3330:222=15
abc
MÆt kh¸c : abc > cba nªn abc - cba =595 . §Æt cét däc ta cã : - V× cb>c.
NÕu a=7 th× c=1 khi ®ã b=15-7-1=7 lo¹i
PhÇn hai
Bèn phÐp tÝnh víi sè tù nhiªn, ph©n sè vµ sè thËp ph©n
A. PhÐp céng
I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí
1. a + b = b + a
2. (a + b) + c = a + (b + c)
3. 0 + a = a + 0 = a
4. (a - n) + (b + n) = a + b
5. (a - n) + (b - n) = a + b - n x 2
6. (a + n) + (b + n) = (a + b) + n x 2
2
- 7. NÕu mét sè h¹ng ®-îc gÊp lªn n lÇn, ®ång thêi c¸c sè h¹ng cßn l¹i ®-îc gi÷
nguyªn th× tæng ®ã ®-îc t¨ng lªn mét sè ®óng b»ng (n - 1) lÇn sè h¹ng ®-îc gÊp lªn
®ã.
8. NÕu mét sè h¹ng bÞ gi¶m ®i n lÇn, ®ång thêi c¸c sè h¹ng cßn l¹i ®-îc gi÷ nguyªn
1
th× tæng ®ã bÞ gi¶m ®i mét sè ®óng b»ng (1 - ) sè h¹ng bÞ gi¶m ®i ®ã.
n
9. Trong mét tæng cã sè l-îng c¸c sè h¹ng lÎ lµ lÎ th× tæng ®ã lµ mét sè lÎ.
10. Trong mét tæng cã sè l-îng c¸c sè h¹ng lÎ lµ ch½n th× tæng ®ã lµ mét sè ch½n.
11. Tæng cña c¸c sè ch½n lµ mét sè ch½n.
12. Tæng cña mét sè lÎ vµ mét sè ch½n lµ mét sè lÎ.
13. Tæng cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ mét sè lÎ.
II. Bµi tËp
Bµi 1: TÝnh nhanh:
a) 4823 + 1560 + 5177 + 8440)
b) 10556 + 8074 + 9444 + 926 + 1000
c) 576 + 789 + 467 + 111
Bµi gi¶i:
(4823 + 5177) + ( 1560 + 8440) = 10.000 + 10.000
= 20.0000
(10556 + 94444) + ( 8074 + 926) + 1000 = 19500 + 9000 + 1000
= 29500
576 + 467 + 789 +111 = 1043 + 900
= 1943
Bµi 2: TÝnh nhanh:
5 7 19 6 9 9 1 20 300 4000
a) d)
7 13 13 5 7 5 10 100 1000 10000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b)
11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
1 2 3 4 5 17 18 19 20
c) ...
21 21 21 21 21 21 21 21 21
Bµi gi¶i:
5 7 19 6 9 9
a)
7 13 13 5 7 5
5 9 7 19 6 9
7 7 13 13 5 5
14 26 15
7 13 5
223 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b)
11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
(1 10) (2 9) (3 8) (4 7) (5 6)
11
11 11 11 11 11
11
11x5 55
5
11 11
3
- 1 2 3 4 5 17 18 19 20
c) ...
21 21 21 21 21 21 21 21 21
(1 20) (2 19) ... (10 11)
21
21x10 210
10
21 21
Bµi 3: T×m hai sè cã tæng b»ng 1149, biÕt r»ng nÕu gi÷ nguyªn sè lín vµ gÊp sè bÐ
lªn 3 lÇn th× ta ®-îc tæng míi b»ng 2061.
Bµi gi¶i
Khi gÊp sè bÐ lªn ba lÇn th× tæng sÏ t¨ng:3-1 = 2 ( lÇn sè bÐ)
Hai lÇn sè bÐ øng víi: 2061- 1149 =912
Sè bÐ lµ : 912 : 2 = 456
Sè lín lµ : 1149 – 456 = 693
§¸p sè : 693; 456
Bµi 4: Khi céng mét sè thËp ph©n víi mét sè tù nhiªn, mét b¹n ®· quªn mÊt dÊu
phÈy ë sè thËp ph©n vµ ®Æt tÝnh nh- céng hai sè tù nhiªn víi nhau nªn ®· ®-îc tæng
lµ 807. Em h·y t×m sè tù nhiªn vµ sè thËp ®ã? BiÕt tæng ®óng cña chóng lµ 241,71.
Bµi gi¶i
Nh×n vµo tæng ®óng sè thËp ph©n cã hai ch÷ sè phÇn thËp ph©n, khi viÕt nhÇm nh-
vËy sè thËp ph©n ®· t¨ng lªn 100 lÇn. VËy tæng t¨ng lªn 100 -1 = 99 (lÇn sè thËp
ph©n)
99 lÇn sè thËp ph©n øng víi : 807 – 241,71 = 565,29
Sè thø hai lµ : 565,29 : 99 = 5,71
Sè lín lµ : 241,71 – 5,71 = 236
§¸p sè :236; 5,71
Bµi 5 : Cho sè cã hai ch÷ sè. NÕu viÕt sè ®ã theo thø tù ng-îc l¹i ta ®-îc sè míi bÐ
h¬n sè ph¶i t×m. BiÕt tæng cña sè ®ã víi sè míi lµ 143.
Bµi gi¶i
V× a+b =13
Mµ b 1).
4. NÕu sè bÞ trõ gi÷ nguyªn, sè trõ ®-îc gÊp lªn n lÇn th× hiÖu bÞ gi¶m ®i (n - 1) lÇn
sè trõ. (n > 1)
5. NÕu sè bÞ trõ ®-îc t¨ng thªm n ®¬n vÞ, sè trõ gi÷ nguyªn th× hiÖu t¨ng lªn n ®¬n
vÞ.
6. NÕu sè bÞ trõ gi¶m ®i n ®¬n vÞ, sè trõ gi÷ nguyªn th× hiÖu gi¶m ®i n ®¬n vÞ.
II. Bµi tËp
Bµi 1: TÝnh nhanh:
4
- a) 32 - 13 - 17
c) 45 - 12 - 5 – 23 b) 1732 - 513 - 732
d) 2834 - 150 – 834
Bµi gi¶i
a, 32 – 13 -17 = 32 – (13+17 ) = 2 b, 1732 – 513 -732 = 1732 -732 -
513
= 1000 -513 = 487
c, 45 -12 -5 -23= 45 – 5-( 12+23 )
= 40 - 30 = 10
Bµi 2: TÝnh nhanh:
34 19 3 19 9 7 11 4 11 16
a) =1 c) =1 +
31 28 31 28 28 3 5 3 5 5
18 55 5
b) =1 +
55 101 27 4 2 5
d) =0
13 46 13 46 46 25 9 25 9
Bµi 3: TÝnh nhanh
Bµi gi¶i
a,46,55 - (20,33+25,67 )=0,55 b, 20- (0,5+5,5) –( 1,5+4,5) -
(2,5+3,5)
= 20 – 6 - 6 – 6 = 2
Bµi 4: HiÖu hai sè lµ 3,8. NÕu gÊp sè trõ lªn hai lÇn th× ®-îc sè míi h¬n sè bÞ trõ lµ
4,9. T×m hai sè ®· cho. (VÏ s¬ ®å ®Ó gi¶i)
Bµi gi¶i
C¸ch gi¶i kh«ng vÏ s¬ ®å
Gäi sè trõ lµ ¢, th× s« bÞ trõ lµ A+3,8.
Theo bµi ra ta cã : A 2 ( A 3,8) 4,9
Hay : A – 3,8 = 4,9
A = 4,9 +3,8 = 8,7
Sè bÞ trõ lµ : 8,7+3,8 =12,5
§¸p sè : 12,5; 8,7
Bµi 5: Mét m¶nh v-ên h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi h¬n chiÒu réng 6,8m. NÕu ta bít
mçi chiÒu ®i 0,2m th× chu vi míi gÊp 6 lÇn chiÒu réng míi. TÝnh diÖn tÝch m¶nh
v-ên ban ®Çu.
Bµi gi¶i
Khi bít mçi chiÒu ®i 0,2 m th× nöa chu vi gÊp chiÒu réng sè lÇn lµ:
6: 2 = 3 (lÇn chiÒu réng)
Coi nöa chu vi lµ ba phÇn th× chiÒu réng lµ 1 phÇn nh- thÕ .V©y chiÒu dµi sÏ øng
víi:
3 – 1 = 2 (phÇn) MÆt kh¸c khi cïng bít ®i ë chiÒu dµi vµ chiÒu réng
cïng 1 sè th× hiÖu gi÷a chiÒu réng vµ chiÒu dµi kh«ng ®æi.Nªn 1 phÇn lóc sau (hay
chiÒu réng lóc sau ) øng víi :
6,8 1 6,8(m)
ChiÒu dµi lóc ®Çu lµ : 6,8 2 0,2 13,8(m)
ChiÒu réng lóc ®Çu lµ: 6,8 +0,2 =7 ( m)
DiÖn tÝch m¶nh v-ên lµ : 13,8 7 = 96,6 (m2) 2
§¸p sè : 96,6 (m )
Bµi 6: Thay c¸c ch÷ a, b, c b»ng c¸c ch÷ sè thÝch hîp trong mçi phÐp tÝnh sau: (mçi
ch÷ kh¸c nhau ®-îc thay bëi mçi ch÷ sè kh¸c nhau)
BiÕt a + b = 11.
5
- Bµi gi¶i
a,XÐt ch÷ sè hµng ®¬n vÞ ab – c = 0 nªn suy ra hµng phÇn m-êi b – c = a cã nhí
vµ nhí nhiÒu nhÊt lµ 1. ab – (c+1) = 0 Suy ra c = 9 . tõ ®ã suy ra ab= 10=> a= 1;
b= 0
b, V× a+b =11 nªn b,a +a,b =12,1
MÆt kh¸c b,a – a,b =2,7 (ý b) Suy ra b,a > a,b
§-a vÒ bµi to¸n tæng hiÖu ta cã b,a lµ: (12,1+2,7 ) : 2 = 7,4
a,b lµ : 7,4 -2,7 =4,7
Tõ ®Êy suy ra a= 4 ; b= 7
§¸p sè a, a= 1; b=0; c=9
B, a= 4; b= 7
C.PhÐp nh©n
I. KiÕn thøc cÇn nhí
1. a x b = b x a
2. a x (b x c) = (a x b) x c
3. a x 0 = 0 x a = 0
4. a x 1 = 1 x a = a
5. a x (b + c) = a x b + a x c
6. a x (b - c) = a x b - a x c
7. Trong mét tÝch nÕu mét thõa sè ®-îc gÊp lªn n lÇn ®ång thêi cã mét thõa sè kh¸c
bÞ gi¶m ®i n lÇn th× tÝch kh«ng thay ®æi.
8. Trong mét tÝch cã mét thõa sè ®-îc gÊp lªn n lÇn, c¸c thõa sè cßn l¹i gi÷ nguyªn
th× tÝch ®-îc gÊp lªn n lÇn vµ ng-îc l¹i nÕu trong mét tÝch cã mét thõa sè bÞ gi¶m ®i
n lÇn, c¸c thõa
sè cßn l¹i gi÷ nguyªn th× tÝch còng bÞ gi¶m ®i n lÇn. (n > 0)
9. Trong mét tÝch, nÕu mét thõa sè ®-îc gÊp lªn n lÇn, ®ång thêi mét thõa sè ®-îc
gÊp lªn m lÇn th× tÝch ®-îc gÊp lªn (m x n) lÇn. Ng-îc l¹i nÕu trong mét tÝch mét
thõa sè bÞ gi¶m ®i m lÇn, mét thõa sè bÞ gi¶m ®i n lÇn th× tÝch bÞ gi¶m ®i (m x n) lÇn.
(m vµ n kh¸c 0)
10. Trong mét tÝch, nÕu mét thõa sè ®-îc t¨ng thªm a ®¬n vÞ, c¸c thõa sè cßn l¹i gi÷
nguyªn th× tÝch ®-îc t¨ng thªm a lÇn tÝch c¸c thõa sè cßn l¹i.
11. Trong mét tÝch, nÕu cã Ýt nhÊt mét thõa sè ch½n th× tÝch ®ã ch½n.
12. Trong mét tÝch, nÕu cã Ýt nhÊt mét thõa sè trßn chôc hoÆc Ýt nhÊt mét thõa sè cã
tËn cïng lµ 5 vµ cã Ýt nhÊt mét thõa sè ch½n th× tÝch cã tËn cïng lµ 0.
13. Trong mét tÝch c¸c thõa sè ®Òu lÎ vµ cã Ýt nhÊt mét thõa sè cã tËn cïng lµ 5 th×
tÝch cã tËn cïng lµ 5.
II. Bµi tËp
Bµi 1: TÝnh nhanh:
a. 8 x 4 x 125 x 25 d. 500 x 3,26 x 0,02
b. 2 x 178 x 5 e. 0,5 x 0,25 x 0,2 x 4
c. 2,5 x 16,27 x 4 g. 2,7 x 2,5 x 400
Bµi gi¶i
a,8 (125) (4 25) 1000 100 100000 d, 500 0,02 3,26 32,6
b,2 5 178 1780 e,0,5 0,2 0,25 4
c,2,5 4 16,27 16,27
Bµi 2: TÝnh nhanh:
4 5 3 5 5 1 4 3
a) x x b) x x
7 6 7 6 9 4 9 12
7 8 7 3 2006 3 3 1
c) x x d) x x
9 5 9 5 2005 4 4 2005
Bµi gi¶i
5 4 3 5 1 5 4 1
a, ( ) , b, ( )
6 7 7 6 4 9 9 4
6
- 7 8 3 7
c, ( ) d, 1
9 5 5 9
Bµi 3: TÝnh b»ng c¸ch thuËn tiÖn nhÊt:
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a) x x x x b) x x x x x x x x
2 3 4 5 6 10 9 8 7 6 5 4 3 2
Bµi gi¶i
1 1
a, b,
6 10
Bµi 4: TÝnh nhanh:
a) (81,6 x 27,3 - 17,3 x 81,6) x (32 x 11 - 3200 x 0,1 - 32)
b) (13,75 - 0.48 x 5) x (42,75 : 3 + 2,9) x (1,8 x 5 - 0,9 x 10)
c) (792,81 x 0,25 + 792,81 x 0,75) x (109 - 900 x 0,1 - 9)
Bµi gi¶i
1
a,81,26 (27,3 17,3) (32 11 32 100 32)
10
= 81,26 10 (32 (11 10 1) 0
Bµi 5: T×m 2 sè cã tÝch b»ng 5292, biÕt r»ng nÕu gi÷ nguyªn thõa sè thø nhÊt vµ
t¨ng thõa
sè thø hai thªm 6 ®¬n vÞ th× ®-îc tÝch míi b»ng 6048.
Bµi gi¶i
S¸u lÇn thõa sè thø nhÊt lµ:6048 -5292=756
Thõa sè thø nhÊt lµ: 756 : 6 =126
Thõa sè thø hai lµ:5292 :126 =42
Bµi 6: Mét h×nh ch÷ nhËt nÕu gi¶m chiÒu dµi ®i 25% chiÒu dµi th× chiÒu réng ph¶i
thay ®æi nh- thÕ nµo ®Ó diÖn tÝch cña h×nh kh«ng thay ®æi?
Bµi gi¶i
1 1
Ta ®æi 25% = .NÕu chiÒu dµi bít ®i tøc lµ chiÒu dµi chia cho 4 .®Ó diÖn tÝch
4 4
kh«ng ®æi th× chiÒu réng ph¶i gÊp lªn 4 lÇn. Th©t vËy ta cã:
1
S = a b S =a b 4 a b .Bµi to¸n chøng minh xong.
4
1
Bµi 7: T×m 2 sè, biÕt tæng gÊp 5 lÇn hiÖu vµ b»ng tÝch cña chóng.(50 ®Ò NguyÔn
6
¸ng)
Bµi gi¶i
BiÓuthÞ HiÖu lµ 1 phÇn , th× tæng sÏ lµ 5 phÇn b»ng nhau nh- thÕ. Nh- vËy th× tÝch sÏ
øng víi 6 phÇn .§-a vÒ bµi to¸n tæng hiÖu ta cã:
Sè lín øng víi sè phÇn lµ:(5+1): 2 = 3 ( phÇn)
Do vËy, Sè bÐ øng víi:3 - 1 = 2 ( phÇn)
Nh- thÕ ,tÝch sÏ b»ng 3 lÇn sè bÐ .Mµ tÝch b»ng sè lín nh©n víi sè bÐ.
Nªn sè lín b»ng : 6: 2 = 3.
Sè bÐ lµ : 6: 3= 2 . Thö l¹i ta cã :Tæng : 3+ 2= 5
HiÖu: 3-2= 1
TÝch :3 2 6
Râ rµng tæng gÊp 5 lÇn hiÖu vµ b»ng nöa tÝch: (1 5 5; 6 :1 = 6)
Bµi 8: T×m 2 sè, biÕt tæng gÊp 3 lÇn hiÖu vµ b»ng nöa tÝch cña chóng.(50 ®Ò ,®Ò sè 3
)
Bµi gi¶i
BiÓuthÞ HiÖu lµ 1 phÇn , th× tæng sÏ lµ 3 phÇn b»ng nhau nh- thÕ. Nh- vËy th× tÝch sÏ
øng víi 6 phÇn .§-a vÒ bµi to¸n tæng hiÖu ta cã:
Sè lín øng víi sè phÇn lµ:(3+1): 2 = 2 ( phÇn)
Do vËy, Sè bÐ øng víi:3-2 = 1 ( phÇn)
7
- Nh- thÕ ,tÝch sÏ b»ng 6 lÇn sè bÐ .Mµ tÝch b»ng sè lín nh©n víi sè bÐ. Nªn sè lín
b»ng 6.
Sè bÐ lµ : 6:2 =3 . Thö l¹i ta cã :Tæng : 3+6 = 9
HiÖu:6-3= 3
TÝch :3 6 18
Râ rµng tæng gÊp ba lÇn hiÖu vµ b»ng nöa tÝch: (3 3 9; 18 :2 = 9)
D. PhÐp chia
I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí (®äc kÜ tr-íc khi lµm bµi tËp )
1. a : (b x c) = a : b : c = a : c : b (b, c > 0)
2. 0 : a = 0 (a > 0)
3. a : c - b : c = ( a - b) : c (c > 0)
4. a : c + b : c = (a + b) : c (c > 0)
5. Trong phÐp chia, nÕu sè bÞ chia t¨ng lªn (gi¶m ®i) n lÇn (n > 0) ®ång thêi sè chia
gi÷
nguyªn th× th-¬ng còng t¨ng lªn (gi¶m ®i) n lÇn.
6. Trong mét phÐp chia, nÕu t¨ng sè chia lªn n lÇn (n > 0) ®ång thêi sè bÞ chia gi÷
nguyªn th× th-¬ng gi¶m ®i n lÇn vµ ng-îc l¹i.
7. Trong mét phÐp chia, nÕu c¶ sè bÞ chia vµ sè chia ®Òu cïng gÊp (gi¶m) n lÇn (n >
0) th× th-¬ng kh«ng thay ®æi.
8. Trong mét phÐp chia cã d-, nÕu sè bÞ chia vµ sè chia cïng ®-îc gÊp (gi¶m) n lÇn
(n > 0) th× sè d- còng ®-îc gÊp (gi¶m ) n lÇn.
II. Bµi tËp
Bµi 1: TÝnh nhanh:
a) 1875 : 2 + 125 : 2 b) 20,48 : 3,2 + 11,52 : 3,2
c) 62,73 : 8,4 + 21,27 : 8,4 d) 43,3 : 2,5 - 19,3 : 2,5
Bµi gi¶i
a, (1875+125):2= 1000 b,(20,48 +11,52 ):2 = 16
c,(62,73 +21,27 ) : 2 =42 d,(43,3 +19,3 ):2,5=31.3
Bµi 2: Nam lµm mét phÐp chia cã d- lµ sè d- lín nhÊt cã thÓ cã. Sau ®ã Nam gÊp
c¶ sè bÞ chia vµ sè chia lªn 3 lÇn. ë phÐp chia míi nµy, sè th-¬ng lµ 12 vµ sè d- lµ
24. T×m phÐp chia Nam thùc hiÖn ban ®Çu.
Bµi gi¶i
Trong mét phÐp chia ,nÕu gÊp c¶ sè bÞ chia;sè chia lªn ba lÇn th× th-¬ng kh«ng thay
®æi nh-ng sè d- còng t¨ng lªn ba lÇn. Do ®ã th-¬ng trong phÐp chia cña Nam lµ 12
vµ sè d- ban ®Çu lµ: 24 : 3 = 8
Sè chia lµ ban ®Çu lµ : 8 + 1 = 9
Sè bÞ chia lµ : 9 12 +8= 116
§¸p sè : 116; 9
Bµi 3: Sè A chia cho 12 d- 8. NÕu gi÷ nguyªn sè chia th× sè A ph¶i thay ®æi nh- thÕ
nµo ®Ó th-¬ng t¨ng thªm 2 ®¬n vÞ vµ phÐp chia kh«ng cã d-?
Bµi gi¶i
NÕu phÐp chia t¨ng 1 ®¬n vÞ th× sè A cÇn t¨ng: 12 – 8 = 4
§Ó th-¬ng t¨ng 2 ®¬n vÞ th× sè A cÇn t¨ng: 12 +4 = 16
§¸p sè : 16
Bµi 4: Mét sè chia cho 18 d- 8. §Ó phÐp chia kh«ng cßn d- vµ th-¬ng gi¶m ®i 2 lÇn
th× ph¶i thay ®æi sè bÞ chia nh- thÕ nµo?
Bµi gi¶i
§Ó phÐp chia kh«ng cã d- vµ th-¬ng kh«ng ®æi th× sè bÞ chia cÇn bít 8 ®¬n vÞ.
§Ó th-¬ng gi¶m ®i 2 lÇn th× sè bÞ chia gi¶m ®i 2 lÇn.
VËy sè bÞ chia ph¶i gi¶m ®i 2 lÇn vµ 8 ®¬n vÞ.
Bµi 5: NÕu chia sè bÞ chia cho 2 lÇn sè chia th× ta ®-îc 6. NÕu ta chia sè bÞ chia cho
3 lÇn sè th-¬ng th× còng ®-îc 6. T×m sè bÞ chia vµ sè chia trong phÐp chia ®Çu tiªn.
Bµi gi¶i
8
- NÕu chia mét lÇn sè chia ta cã th-¬ng lµ: 6 2 = 12
Chia mét lÇn cho 12 ta cã sè chia lµ: 6: 3=2
VËy sè bÞ chia lµ: 12 2 =24
§¸p sè : 24
Bµi 6: Mét phÐp chia cã th-¬ng lµ 6, sè d- lµ 3. Tæng sè bÞ chia, sè chia vµ sè d-
b»ng 195T×m sè bÞ chia vµ sè chia?
Bµi gi¶i
V× sè d- lµ 3 vµ th-¬ng b»ng 6 nªn sè bÞ chia gÊp 6 lÇn sè chia vµ 3 ®¬n vÞ.Bít ®i
3+3 =6 ta ®-a vÒ bµi to¸n tæng tØ ta cã: tæng lµ 195 -6 = 189
Tæng sè phÇn b»ng nhau lµ: 6 +1 =7 ( phÇn )
Sè bÞ chia lµ : 189 : 7 6 +3 = 165
Sè chia lµ ( 165 -3) : 6 = 27
§¸p sè : 165 ;27
Bµi 7: Cho 2 sè, lÊy sè lín chia cho sè nhá ®-îc th-¬ng lµ 7 vµ sè d- lín nhÊt cã
thÓ cã®-îc lµ 48. T×m 2 sè ®ã.
Bµi gi¶i
V× sè d- lµ sè lín nhÊt cã thÓ cã nªn sè chia lµ: 48 +1 = 49
V©y sè lín lµ 49 7 = 343
§¸p sè : sè lín :343 ; sè bÐ : 49
Bµi 8: HiÖu 2 sè lµ 33. LÊy sè lín chia cho sè nhá ®-îc th-¬ng lµ 3 vµ sè d- lµ 3.
T×m 2 sè ®ã.
Bµi gi¶i
Coi sè bÐ lµ 1 phÇn th× sè lín lµ 3 phÇn vµ 3 ®¬n vÞ . V¹y hiÖu sè phÇn gi÷a sè lín
vµ sè bÐ (hay 33 øng víi )lµ: 3 phÇn + 3 – 1 phÇn = 2 phÇn + 3 ®¬n vÞ
VËy 2 phÇn øng víi : 33 -3 = 30
VËy 1 phÇn lµ : 30 :2 = 15
Sè lín lµ : 15 3 +3 = 48
Sè bÐ lµ 48 – 33 = 15
§¸p sè : 48 ; 15
PHẦN III. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí
1. BiÓu thøc kh«ng cã dÊu ngoÆc ®¬n chØ cã phÐp céng vµ phÐp trõ (hoÆc chØ cã
phÐp nh©n vµ phÐp chia) th× ta thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh theo thø tù tõ tr¸i sang ph¶i.
VÝ dô: 542 + 123 - 79 482 x 2 : 4
= 665 - 79 = 964 : 4
= 586 = 241
2. BiÓu thøc kh«ng cã dÊu ngoÆc ®¬n, cã c¸c phÐp tÝnh céng, trõ, nh©n, chia th× ta
thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh nh©n, chia tr-íc råi thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh céng trõ sau.
VÝ dô: 27 : 3 - 4 x 2
=9-8
=1
3. BiÓu thøc cã dÊu ngoÆc ®¬n th× ta thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh trong ngoÆc ®¬n tr-íc,
c¸c phÐp tÝnh ngoµi dÊu ngoÆc ®¬n sau
VÝ dô: 25 x (63 : 3 + 24 x 5)
= 25 x (21 + 120)
=25 x 141
=3525
II. Bµi tËp
Bµi 1: ViÕt d·y sè cã kÕt qu¶ b»ng 100:
a) Víi 5 ch÷ sè 1 . b) Víi 5 ch÷ sè 5.
Bµi gi¶i
a, 111 -11 =100 b,( 5+5+5+5) 5 =20 5 = 100
Bµi 4: Cho d·y tÝnh: 128 : 8 x 16 x 4 + 52 : 4. H·y thªm dÊu ngoÆc ®¬n vµo d·y
tÝnh ®ã sao cho:
9
- a) KÕt qu¶ lµ nhá nhÊt cã thÓ? b) KÕt qu¶ lµ lín nhÊt cã thÓ ?
Bµi gi¶i
a,128 : (8 16 ) (4 + 52 ) : 4 = 1 14 = 14
32 8
HoÆc 128 : (8 16 4 + 52 ) : 4 =128 : 564 :4 = :4
141 141
b,128:8 16 (4 +52:4) = 3328
Bµi 5: H·y ®iÒn thªm dÊu ngoÆc ®¬n vµo biÓu thøc sau:
A = 100 - 4 x 20 - 15 + 25 : 5
a) Sao cho A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt lµ bao nhiªu?
b) Sao cho A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã lµ bao nhiªu?
Bµi gi¶i
a,(100- 4) 20 – (15 + 25) : 5 =1920- 8=1912
b,100- (4 20) – (15 +25 : 5 )= 20 -20 = 0
Bµi 6: T×m gi¸ trÞ sè tù nhiªn cñ a ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt , gi¸ trÞ nhá
nhÊt ®ã lµ bao nhiªu?
A = (a - 30) x (a - 29) x …x (a - 1)
Bµi gi¶i
a= 30 th× A =0 thËt vËy A =( 30 – 30 ) (30 29) ... (30 1) 0 1 2 ... 29 0
Bµi 7: T×m gi¸ trÞ cña sè tù nhiªn a ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ lín
nhÊt ®ã lµ bao nhiªu?
A = 2006 + 720 : (a - 6)
Bµi gi¶i
§Ó A lín nhÊt th× 720 : ( a- 6) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi ®ã a -6 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ
lín h¬n 0. Hay a- 6 = 1 => 720 : (a – 6 ) = 720 => 2006 +720 : ( a – 6 ) = 2006 +
720 = 2726
Bµi 8: TÝnh:
1 1
a) 1 b) 1 Quy ®ång tõ d-íi vµ gi¶i ng-îc
1 1
1 1
1 1
1 1
2 tõ d-íi 2
1 1
c) 1 d) 2
1 1
2 1
3 1 4
1 Ph©n sè tØ sè cã nhiÒu bµi tËp kiÓu nµy. NÕu trong ®Ò thi
e) 1 cã kÕt qu¶ th× nªn gi¶i ng-îc tõ cuèi.
2 VÝ dô d-íi ®©y sÏ chøng tá ®iÒu ®ã:
1
2 3
52 1
Bµi 8b,T×m c¸c sè tù nhiªn a,b,c sao cho: A= =5+
9 1
a
1
b
52 7 c
A= 5+ (®æi ra hçn sè)
9 9
1 1 1 1 1
=5+ =5+ =5+ =5+ =5+ =.> a=1;b=3;c=2
9 2 1 1 1
1 1 1 a
7 7 7 1 1
3 b
2 2 c
10
- 61 1 52 1
Bµi tËp t-¬ng tù S= =8+ B= =7+
7 1 7 1
a a
1 1
b b
c c
Bµi 9:
3 1 157
2+ =7 b, 2+ =
1 1
4 3
68
2 y 1
3 4
=7 -2 =5( t×m sè y
1 1 157 21
4 = -2 = (t×m sè
2 y 1 68 68
h¹ng) 3
1
4 -
1 3
=3:5= (t×m sè 4
2 y 5 y
h¹ng)
chia) 1 21 68
3+ 1: = (t×m sè
1 68 21
1 3 17
=4 - = (t×m sè 4
2 y 5 5 chia)
y
trõ)
17 5 1 68 5
2 – y =1 : = (t×m -3=
1 21 21
5 17 4
sè chia) y
5
y= 2 - (t×m sè trõ) 1 21 21 20 1
17 4 (PSTS)
y 5 5 5
29
y=
17
Bµi 10 a,TÝnh tæng S = 1+ 4+ 9+...+1 00 = 1 1 2 2 3 3 ... 10 10 = 10
(10+1) (2 10 +1 ) : 6=385
b,§iÒn dÊu ngoÆc vµo chç thÝch hîp ®Ó A= 1004, biÕt A= 11 91 24 : 5 3
Ta cã A= 11 91 24 : (5 3) =1004
Bµi 11: a, T×m sè tù nhiªn n sao cho:
121 54 100 25 121 54 100 25
n : Ta cã : n :
27 11 21 126 27 11 21 126
= 22 < n < 24 => n =23
Bµi 12: T×m x lµ sè tù nhiªn biÕt:
x 60 6 x 7
a) V× 207:17=12nªn ta cã b)
17 204 33 11
x 60 5 12 5 6 x 7 7 3 21
= = =>x =5 = =>6+x=21
17 204 17 12 17 33 11 11 3 33
12 x 2 x 3 11 11
c) d) e) 1 2 g1 2
43 x 3 5 7 x x
1 1 2 ba 2 2
h, (a b) v× => b-a =2 nªn a
- Bµi 17 TÝnh:
253 75 161 37 253 25 161 63
a,
100 47 12 3,5 5,8 : 0,1
253 (75 25) 161 (37 63) 100 (253 161) 9200
=
4700 42 58 4600 4600
2004 37 20040 2 2004 2004 59 2004 27 45 55 27
c, d, A=
334 321 201 324 324 101 18 324 2 4 6 ... 14 16 18
Bµi 18 C¸c bµi to¸n t×m x,y
1 1 1 1 1 1
a, T×m y, biÕt:(y - ) : ( ... )
2 2 6 12 90 3
Gi¶i:TÝnh trong ngoÆc tr-íc.
1 1 1 1 1933
b,T×m x,biÕt 1+ ... 1
3
6 10 x ( x 1) : 2 1935
1 1 1 1933
Ph©n sè cã d¹ng:1 + ... 1 (bít 1 c¶ 2 vÕ)
(1 2) 2 (1 3) 3 x ( x 1) 1935
2 2 2
1 1 1 1933
= ...
(1 2) 2 (1 3) 3 x ( x 1) 1935
2 2 2
2 2 2 2 1933
= ......+ =
2 3 3 4 4 5 x ( x 1) 1935
1 1 1 1 1933
=2 ( ...+ )=
2 3 3 4 4 5 x ( x 1) 1935
1 1 1933
= 2( )=
2 x 1 1935
x 1 1933 x 1 1933
=2 ( ) => ) =>x=1934
( x 1) 2 1935 x 1 1935
1 1 1 1 2011
Bµi tËp t-¬ng tù : 1+ ... 1
3 6 10 x ( x 1) : 2 2013
1 1 1 1 933
1+ ... 1
3 6 10 x ( x 1) : 2 935
x 2 6
c, ( §Ò thi ks HSG VÜnh T-êng 2011)
27 9 18
x 6 2 15
= => x= 15
27 18 9 27
Bµi 19: T×m y:
3 1 2 1 7 4 1
3 : 2 1 1 :
4 4 5 4 2 5 5 2
=64
1 3
1 y
2 4
B=x+ x 2 x 3 ... x 5 x 6 18090 (kh¶o s¸t huyÖn S«ng L«)
Cïng bít c¶ hai vÕ x 6 ta cã x 9 = 18090
x = 18090 : 9 = 2010
Bµi 20 Tim x,biÕt
32 44 76 3 2 5
a, x - =>x = b, x -10 11 => x =21
43 43 43 7 7 7
x 125 100 x 0,5 2
c, 100 125 d, 0,5 0
5 2
12
- Bµi 21 a, TÝnh A= 1,1 +2,2+ 3,3 + ...+8,8 +9,9 =(1,1 +9,9) 9 : 2 =49,5
1 1 1 1
B= 1 1 1 ... 1 (®æi ra PS )
2 3 4 7
b, Ta cã : 1+2=3 (1)
4+5+6= 7+ 8 (2)
9 +10+11 +12 =13 +14 +15 (3)
a,Em h·y viÕt tiÕp hµng thø t-.
b,Trong « thø 100 cã bao nhiªu sè,sè cuèi cïng b»ng bao nhiªu ? (§Ò thi HSG n¨m
2009)
Gi¶i
a,16+17+18+19+20 =21+22+23+24 (4)
b, XÐt nhãm (1) bªn ph¶i cã 1 sè h¹ng ,bªn tr¸i cã(1+1 =)2 sè h¹ng
XÐt nhãm (2) bªn ph¶i cã 2 sè h¹ng, bªn tr¸i cã(2+1 =) 3 sè h¹ng
XÐt nhãm (3) bªn ph¶i cã 3 sè h¹ng, bªn tr¸i cã(3+1 =) 4 sè h¹ng
Suy ra nhãm thø 100 bªn ph¶i cã 100 sè h¹ng , bªn tr¸i cã 100+1 = 101 (sè h¹ng
)
VËy nhãm thø 100 cã tÊt c¶ c¸c sè h¹ng lµ :
100+101 =201 (sè h¹ng )
Sè h¹ng ®Çu tiªn bªn tr¸i nhãm (1)cã d¹ng :1 1 = 1
Sè h¹ng ®Çu tiªn bªn tr¸i nhãm (2)cã d¹ng :2 2 = 4
Sè h¹ng ®Çu tiªn bªn tr¸i nhãm (3)cã d¹ng :3 3 = 9
VËy
Sè h¹ng ®Çu tiªn bªn tr¸i nhãm (100)cã d¹ng :100 100 =10000
Sè h¹ng cuèi cïng trong nhãm thø 100 lµ : 1000 +1 (201 -1) =10200
§¸p sè :a, 16+17+18+19+20
=21+22+23+24 (4
b, 201 :10200
Bµi tËp t-¬ng tù (§Ò thi KSCL HSG VÜnh Phóc)
Ng-êi ta cã 10 bao g¹o nh- sau : 1kg ; 3kg ; 6kg ; 10kg ; ...
a,Em h·y ghi tiÕp khèi l-îng cña c¸c bao cßn l¹i.
b. NÕu ng-êi ta muèn lÊy 1 t¹ tõ c¸c bao nguyªn th× cã thÓ chän nh÷ng bao nµo ?
Gi¶i
a,
Ta cãbao sè 1 lµ 1=1
Ta cãbao sè 2 lµ 3=1+2
Ta cãbao sè 3 lµ 6=1+2+3
Ta cãbao sè 4 lµ 10=1+2+3+4 nªn ta cã c¸c bao tiÕp
theo lµ :
Ta cãbao sè 5 lµ 15=1+2+3+4+5
Ta cãbao sè 6 lµ 21=1+2+3+4+5+6
Ta cãbao sè 7 lµ 28=1+2+3+4+5+6+7
Ta cãbao sè8 lµ 36=1+2+3+4+5+6+7+8
Ta cãbao sè 9 lµ 45=1+2+3+4+5+6+7+8+9
Ta cãbao sè 10 lµ 55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
b, 1 t¹ = 100kg mµ 100= 45+55=45+36+15+3+1=....
Bµi 22 §iÒn dÊu ngoÆc vµo phÐp tÝnh ®Ó ®-îc kÕt qu¶ lµ 2009
a, 34 59 24 : 6 2
Gi¶i
a, 34 59 24 : (6 2) =2009
b, §iÒn dÊu ngoÆc ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ lín nhÊt B=34 59 6 : 2
§Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt th× B = 34 (59+ 6 : 2) =34 62 = 2108
1 3 8 21
c,XÐt d·y sè sau : ; ; ; ;... ViÕt sè h¹ng thø 5 trong d·y
2 5 13 34
13
- Gi¶i Quy luËt cña d·y sè lµ : 1+2=3
2+3=5
5+8=13
8+13 =21
VËy tö cña ph©n sè tiÕp theo lµ : 13+21=34
VËy mÉu cña ph©n sè tiÕp theo lµ : 21+34 =55
6765
- BiÕt lµ mét sè h¹ng trong d·y , viÕt sè h¹ng ®øng tr-íc nã(§Ò thi HSG
10964
2008)
Gi¶i
MÉu sè cña ph©n sè tr-íc nã lµ : 10964 -6765=4199
Tö sè cña ph©n sè tr-íc nã lµ : 6765 –4199=2566 VËy ph©n sè cÇn t×m
2566
lµ :
4199
Bµi 23 §Ò thi HSG n¨m 2010 -2011
A, TÝnh A = 12,3 3,5 12,3 2,4 12,3 4,1 = 12,3 (3,5 +2,4 +4,1 )=12,3 10=123
b, ViÕt tÊt c¶ ph©n sè cã tæng tö sè vµ mÉu sè b»ng 10 vµ nhá h¬n 1.
0 1 2 3 4
gi¶i v× 10=0+10 ;1+9 ; 2+8 ;3+7 ;4+6 =>ta cã ; ; ; ; .
10 9 8 7 6
Bµi tËp t-¬ng tù :ViÕt tÊt c¶ c¸c PS cã tæng tö vµ mÉu b»ng 11 vµ lín h¬n 1
Bµi 24 Cho nhãm sè (1) ; (2,3) ; (4,5,6) ; ...a, ViÕt nhãm thø 4
b, Nhãm thø 100 cã bao nhiªu sè h¹ng.
c, Sè h¹ng thø 2 trong nhãm thø 100 lµ sè
nµo ?
Bµi gi¶i
+ Nhãm 4 cã d¹ng :(7,8,9,10)
+Nhãm 1 cã 1 sè h¹ng ; nhãm 2 cã 2 sè h¹ng ; nhãm 3 cã 3 sè h¹ng ;... ; nhãm 100
cã 100 sè h¹ng.
+Sè h¹ng cuèi cïng cña nhãm 1 lµ :1
- Sè cuèi cïng cña nhãm 2 lµ :1+2=3
- Sè cuèi cïng cña nhãm 3 lµ :1+2+3 =6
...
- Sè h¹ng cuèi cïng cña nhãm 99 lµ :1+2+3+...+99=(1+99) 99 :2=4950
VËy sè h¹ng thø hai trong nhãm thø 100 lµ :4950+2 =4952.
1 1 1 1
Bµi tËp t-¬ng tù : Cho d·y sè: . .....
1 5 15 34
a, ViÕt tiÕp 3 ph©n sè tiÕp theo.
b,Ph©n sè thø 100 mÉu cã bao nhiªu sè h¹ng.
c, Sè h¹ng thø 2 trong mÉu sè cña PS thø 100 lµ sè nµo? (§Ò to¸n Kh«i s¸ng t¸c)
Gi¶i
a,XÐt tö cña tÊt c¶ c¸c ph©n sè ®Òu b»ng 1. XÐt mÉu cña tõng ph©n sè ta cã:
MÉu sè cña ph©n sè thø nhÊt lµ:1=1
MÉu sè cña ph©n sè thø hai lµ: 5=2+3
MÉu sè cña ph©n sè thø ba lµ:15=4+5+6 vËy
MÉu sè cña ph©n sè thø t- lµ: 7+8+9+10=34
MÉu sè cña ph©n sè thø n¨m lµ: 11+12+13+14+15=65
MÉu sè cña ph©n sè thø s¸u lµ: 16+17+18+19+20+21=91
1 1 1
VËy ta cã 3 ph©n sè tiÕp theo lµ: ; ;
34 65 91
b,XÐt mÉu cña phÊn thø nhÊt cã 1 sè h¹ng.(Theo c¸ch gi¶i ý a)
XÐt mÉu cña phÊn thø haicã 2 sè h¹ng.(Theo c¸ch gi¶i ý a)
XÐt mÉu cña phÊn thø ba cã 3 sè h¹ng.(Theo c¸ch gi¶i ý a)
....
XÐt mÉu cña phÊn thø 100 cã 100 sè h¹ng.(Theo c¸ch gi¶i ý a)
c/+Sè h¹ng cuèi cïng cña mÉu PS 1 lµ :1
- Sè cuèi cïng cña PS 2 lµ :1+2=3
- Sè cuèi cïng cña PS 3 lµ :1+2+3 =6
14
- ...
- Sè h¹ng cuèi cïng cña PS 99 lµ :1+2+3+...+99=(1+99) 99 :2=4950
VËy sè h¹ng thø hai trong nhãm thø 100 lµ :4950+2 = 4952
Bµi 23 b/ Dù kiÕn ®Ò thi häc sinh giái 2011-2012.(§Ò kh«i s¸ng t¸c)
1 5 34
Cho d·y sè : ; ; ...
1 15 65
a, H·y viÕt tiÕp ph©n sè tiÕp theo.
b,NÕu viÕt ph©n sè thø 50 c¶ tö vµ mÉu d-íi d¹ng 1 tæng th× c¶ tö vµ mÉu gåm bao
nhiªu sè h¹ng.
c, Sè h¹ng thø nhÊt ë mÉu lµ sè nµo?
Bµi gi¶i
Ph©n sè thø nhÊt cã d¹ng :1=1
Tö ph©n sè thø hai cã d¹ng:5=2+3
MÉu ph©n sè thø hai cã d¹ng: 15=4+5+6
Tö ph©n sè thø ba cã d¹ng : 34=7+8+9+10
MÉu ph©n sè thø ba cã d¹ng: 65=11+12+13+14+15
...
VËy tö cña ph©n sè thø t- lµ : 16+17+18+19+20+21=111
111
MÉu cña ph©n sè thø t- lµ: 22+23+24+25+26+27+28=155 ta cã ph©n sè:
155
b, Gäi mÉu cña ph©n sè thø nhÊt lµ nhãm 1 th× sè h¹ng cuèi cïng cña mÉu PS 1
lµ :1
- Gäi tö sè cña PS thø hai lµ nhãm 2 th× sè h¹ng cuèi cïng cña tö PS thø 2
lµ :1+2=3
- Sè cuèi cïng cña mÉu PS thø 2 lµ :1+2+3 =6
..... Ta l¹i cã mÉu PS thø 50 thuéc nhãm : 50 2-1 =99,vËy tö PS thó 50 thuéc nhãm
99-1= 98
Sè h¹ng cuèi cïng cña nhãm thø 98 hay tö PS thø 50 lµ :1++2+3+4+...98=4751
VËy sè h¹ng thø hai trong nhãm thø 99 lµ hay sè h¹ng thó nhÊt ë mÉu ph©n sè thø
50 lµ :4751+1=4752.
1 11 31
Bµi 24. Cho d·y sè : ; ;7; ;... a, TÝnh tæng cña 100 sè h¹ng ®Çu.
3 3 3
b, Trong 100 sè h¹ng ®Çu cã bao nhiªu sè tù
nhiªn.
c, TÝnh tæng cña c¸c sè tù nhiªn trong 100 sè
h¹ng ®Çu.
Bµi gi¶i
10
a,Kho¶ng c¸ch cña c¸c sè h¹ng lµ :
3
1 10 991
Sè h¹ng thø 100 lµ : + (100-1)=
3 3 3
Tæng 100 sè h¹ng
1 991 49600
®Çu lµ : ( + ) 100 :2=
3 3 3
b,C¸c sè tù nhiªn trong d·y lµ c¸c ph©n sè mµ tö chia hÕt cho 3 theo nguyªn t¾c sè
991
thø nhÊt chia 3 d- 1 ; sè thø 2 chia 3 d- 2, sè thø ba chia 3 d- 0. XÐt ph©n sè
3
991 10
chia 3 d- 1 nªn ph©n sè tr-íc nã lµ sè tù nhiªn.Sè tù nhªn ®ã lµ : - =327
3 3
c, Ta cãd·y 7 ;17 ;27 ;... ;327
Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c sè tù nhiªn lµ : 17 -7 =27 -17 =...=10
Sè sè h¹ng lµ : (327 -7) : 10 +1 =33(sè h¹ng)
Tæng c¸c sè tù nhiªn trong 100 sè h¹ng ®Çu lµ : (7 +327) 33 :2 =5511
1 2 1
Bµi tËp t-¬ng tù :Cho d·y sè ;3 ;7;10 ;... a, T×m sè h¹ng thø 100 trong d·y.
3 3 3
15
- b,§Õm trong 100 SH ®Çu cã bao nhiªu sè tù
nhiªn ;
c,TÝnh tæng cña 100 SH ®Çu vµ tæng cña c¸c sè tù nhiªn võa t×m ®-îc ë ý b.
G, C¸c bµi to¸n chän läc
Bµi 1
2009 2009 20082008 2008 2008 20092009
a,TÝnh : S =
2008 20072007
2009 2009 2008 10001 2008 2008 2009 10001
Ta cã S=
2008 2007 10001
2009 2008 1001 (2009 2008)
S= (Rót gän)
2008 2007 10001
2009
S=
2007
11 11 1010 10 10 1111
Bµi tËp t-¬ng tù 1a/
10 2020
2011 2011 20102010 2010 2010 20112011
1b/
2010 20092009
Bµi 3 TÝnh S = 1 -2 + 3- 4 +5 – 6 ... -100 +101
1 1 1
P = 5 – 5 6 6 ... 99 100
2 2 2
A = 9,8 + 8,7 + 7,6 +....+ 2,1 - 2,1 - 1,2-...- 8,9 Gîi ý (9,8 -8,9)
Bµi 4 T×m x biÕt : (x+1) + (x+4) +...+ (x +28) = 155
Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c sè h¹ng lµ : (x + 4) - (x+1) = (x +7) – (x + 4) =...= 3
Sè c¸c sè h¹ng lµ : (x+28) - (x +1) :3 +1 = 10( sè h¹ng)
Tæng cña nhãm lµ : (x+28+x+1) 10 : 2 =x 5+145=155 => x=1
Bµi 5 TÝnh tæng S =10,11+11,12+12,13 +... + 98,99 +99,100
S =10,10 +11,11 +12,12+...+98,98 + 99,99
Kho¶ng c¸chcña d·y sè lµ :11,11-10,10 = 12,12-11,11=...= 99,99 - 98,98 =1,01
Sè sè h¹ng lµ:(99,99 - 10,10) :1,01+1 = 90(sè h¹ng)
Tæng cña d·y lµ:(10,10 + 99,99) 90 : 2 = 4954,05
39,48 17 83 39,48
Bµi 6 Cho A = T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó A cã gi¸ trÞ lín
1990 72 : (a 6)
nhÊt
Gi¶i :
§Ó A cã gi¸ trÞ lín nhÊt th× 1990- 72 : (a- 6) lín nhÊt vµ lín h¬n 0 ( kh«ng thÓ chia
cho 0)
khi ®ã72 :( a-6) ph¶i lín nhÊt vµ nhá h¬n 1990)
1 1 3 1 1 3 3
B= (1 + 1 1 1 2 2 2 2 ... 4 ) : 23 ( T×m kho¶ng c¸ch)
4 2 4 4 2 4 4
Bµi 7 TÝnh gi¸ tÞ biÓu thøc (®Ò thi kh¶o s¸t HSG huyÖn S«ng L« n¨m 2011)
3 7 13 21 31
a, T =
2 6 12 20 30
1 1 1 1 1
T=1+ 1 1 1 1
2 6 12 20 30
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 25
T=1 5 ( ) =5 ( ) =5
2 6 12 20 30 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6
b,T×m x , biÕt : (x -35 ) 6 = 300 : 25 = 12
(x -35) = 12 : 6
21 213 16 15
c,so s¸nh vµ ; vµ
52 523 27 29
16
- 21 31 310
Gi¶i a, =1- 1 (1)
52 52 520
213 310 310 310 310 310 21 213
=1- (2) Tõ (1) vµ (2) => nªn 1 1- => <
523 523 520 523 520 523 52 523
15 16 16 15 16
b, < nªn <
29 29 27 29 27
Bµi 8 ®Ò thi KSCL HSG VÜnh T-êng n¨m 2011
2003 14 1988 2001 2002
a, TÝnh nhanh
2002 2002 503 504 2002
b, So s¸nh
1999 10 x 2 6
vµ c,
2001 12 27 9 18
Gi¶i
1999 2 10 2 2 2 x 2 6 10 15
b, =1- ; =1- v× > c, = = => x=15
2001 2001 12 12 12 2001 27 9 18 18 27
2 2 10 1999
nªn1- < 1- hay <
2001 12 12 2001
2046 (47 48 47 47 24 24 23)
Bµi 9 a,TÝnh nhanh :
2 4 8 ... 512 1024
1 1 a 1 a
b, T= (*) Tèi gi¶n
5 4 b 20 b
1 1 1 1 1 3
c,T×m y biÕt 3 y ( (§Ò thi c¸c huyÖn thÞ)
2 6 12 20 30 4
Gi¶i :
2046 (47 48 47 47 (24 23) 2046 (47 (48 47 1) 2046
a, =
2 4 8 ... 512 1024 2 4 8 ... 512 1024 2 4 8 ... 512 1024
§Æt S = 2+4+8+...+512+1024 ta cã
S 2 =4+18+...+1024+2048
S 2 -S =(4+18+...+1024+2048)- (2+4+8+...+512+1024)=2048- 2=2046
2046 2046
vËy ta cã 1
S 2046
1 a 1 1 a 1 1 1 1
b, ( ) => =
5 b 4 20 b 20 4 5 10
Bµi 10TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau ;
a, 0,1 +0,2 +0,3 +... + 1,9 =(0,1+1,9) 19 : 2 = 19
1 1 1 3
b, (2010 2011 2012 2013) (1 : 1 1 ) = 0
2 2 3 4
c, 1,3 -3,2 +5,1 -7 +8,9 -10,8 +... +35,5 -37,4 +... + 41,2 – 43,1
Gi¶i : Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c sè lµ :1,9
Sè c¸c sè h¹ng lµ : (43,1 -1,3) :1,9 +1=23 (sè sè h¹ng)
(3,2-1,3)+(7-5,1)+(10,8-8,9)+...+(43,1-41,2) =1,9 23 =43,7
1 1 1 1 8 1 1
Bµi 11 a, Chøng tá r»ng ... ( V× )
20 21 22 27 27 20 27
1 1 1 1 1 8 1 1 1 1 8
Gi¶i ... 8 = nªn ...
20 21 22 27 27 27 20 21 22 27 27
1 1
Bµi 12 : a, t×m y, biÕt y+y : y : 0,25 y : 15
2 8
17
- 2 1
b, Kh«ng tÝnh h·y so s¸nh : 20,09 vµ 0,75 20 ( §Ò thi KSHSG LËp Th¹ch
3 10
2010)
1 1 2 1 8
Gi¶i : y+y : y : 0,25 y : 15 ; Hay y+y y : y 15
2 8 1 4 1
2 4 8
y+y y y 15
1 1 1
y (1 2 4 8) 15
y 15 15 => y = 1
2 3 1 2 1
b, 0,75 MÆt kh¸c 20,09 < 20 20,1 nªn 20,09 < 0,75 20
3 4 10 3 10
25 35 13 133
Bµi 13 a, So s¸nh vµ b, vµ (§Ò thi hÕt häc phÇn §¹i häc SP Hµ Néi)
49 71 15 153
c, TÝnh tæng S = 1 3 2 4 3 5 ... 8 10
§Ò xuÊt lêi gi¶i vµ cho mét bµi to¸n t-¬ng tù (§Ò thi §¹i häc SPHN 2)
25 25 1 35 35 25 25 35
Gi¶i a, = => >
49 50 2 70 71 49 49 71
13 2 20
b, =1- = 1- (1)
15 15 150
133 20 20 20 20 20 133 13
=1- (2) V× > nªn 1- < 1- nªn >
153 153 150 153 150 153 153 15
HD T¸ch 3 =2+1 ; 4=3+1 ; 5= 4+1...Do vËy ta cã :
S=1 (2 1) 2 (3 1) 3 (4 1) ... 8 (9 1)
=(1 2 2 3 3 4 ... 8 9) +(1 1 2 1 3 1 ... 8 1 )
=8 (8+1) (8+2) :3 +(1+8) 8 : 2=276
Bµi to¸n t-¬ng tù cã thÓ lµ S= (1 2 2 3 3 4 ... 8 9) HoÆc 1 1 2 2 ... 8 8
Bµi 14 a, t×m x,biÕt : x : 6 7,2 1,3 x x : 2 15 19,95
2001 2011
b, So s¸nh : víi 1 (§Ò thi KSCL HSG VÜnh Phóc 2011)
2005 2005
Gi¶i :
1 72 13 1 2001 (2005 6)
a,x x x 15 19,95 b,
6 10 10 2 (2001 4) 2005
12 13 1
x( ) =19,95 -15=4,95 2001 2005 2001 6
10 10 2 = >1
x 9 =4,95=> x =5 2001 2005 2005 4
2 3 4 1 4 4 4 4
µi 15 a, T×m y,biÕt : : y b, ... (VÜnh
5 5 7 3 7 3 7 7 11 23 27
Phóc)
Gi¶i
2 3 4 1 4 4 4 4
a, : y b, ...
5 5 7 3 7 3 7 7 11 23 27
2 4 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7
= y = ... =
3 7 3 7 3 3 4 4 5 23 24 3 24 24
1 2 1
=> y = :
3 3 2
Bµi 16 So s¸nh b»ng c¸ch hîp lÝ nhÊt
18
- 13 27 n 1 n 1
a, vµ b, vµ (VÜnh Phóc)
60 100 n 1008 n 1009
Gi¶i
13 26 27 27 n 1 n 1 n 1
a, V× = b, > >
60 120 120 100 n 1008 n 1008 n 1009
13 27 n 1 n 1
nªn < nªn >
60 100 n 1008 n 1009
C¸C b¸i to¸n hay trÝch dÉn tõ to¸n tuæi th¬
Bµi 1
Cho sè A biÕt: A = 4 4 4 ... 4 25 25 25 ... 25 ( 100 thõa sè 4, 100 thõa sè 25)
.Hái A cã bao nhiªu ch÷ sè.
Gi¶i
Ta cø ghÐp ( 4 25 ) thµnh 1 nhãm ta cã 100 nh- vËy. Ta l¹i cã 4 25 =100mçi nhãm
cho ta hai ch÷ sè 0.VËy 100 nhãm cho ta: 100 2 200 ( ch÷ sè 0)
1 13 33 61 97
b/T×m M, biÕt M = (TTT sè 121 lêi gi¶i 123)
3 15 35 63 99
Gi¶i
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
M = (1- ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) =1 5 ( )
3 15 35 63 99 3 15 35 63 99
2 2 2 2 2 1 10 45
=5-( ) = 5-(1 ) = 5 -
1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 11 11
1 1 1 1 2009
Bµi 2 T×m x , biÕt S = ... (TTT sè 113)
3 6 10 x ( x 1) : 2 2011
Gi¶i V× t¸ch 3 =1+2; 6 = 1+2+3 ; nªn ta cã:
1 1 1 2 2 2 2009
S= ... = ...
(1 2) 2 (1 3) 3 x ( x 1) 2 3 3 4 x ( x 1) 2011
2 2 2
1 1 1 1 1 x 1 2009
S =2 ( ... ) 2( ) 2 ( )=
2 3 3 4 x ( x 1) 2 ( x 1) 2 ( x 1) 2011
x-1 =2009
x+1 2011=> x=2010
1 2 1 3 2 1 4 3 2 1
Bµi 3 XÐt d·y ph©n sè: ; , ; , , ; , , , ;....
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4
a, H·y nªu quy luËt cña d·y vµ viÕt tiÕp n¨m PS tiÕp theo cña d·y.
50
b,Ph©n sè lµ PS thuéc nhãm thø bao nhiªu vµ lµ PS thø bao nhiªu trong d·y ®ã.
31
Gi¶i
a,C¸c PS ®-îcviÕt thµnh tõng nhãm( ph©n c¸ch bëi dÊu chÊm ph¶y);cã tæng cña tö
vµ mÉu lÇn l-ît lµ2;3;4;5.... Trong mçi nhãm th× mÉu ®-îc viÕt theo thø tù t¨ng
dÇn1;2;3...
5 4 3 2 1
Dodos 5 PS tiÕp theo lµ: , , , , .
1 2 3 4 5
b, Theo c¸ch chia nhãm nh- trªn, tæng cña ntö vµ mÉu cña nhãm thø nhÊt lµ 2, cña
50
nhãm thø hai lµ 3; cña nhãm thø ba lµ 4,... do ®ã PS thuéc nhãm thø (50+31 -1
31
=)80 vµ lµ ph©n sè thø 31 cña nhãm Êy .
Sè l-îng c¸c ph©n sè tr-íc nhãm thø 80 lµ :1+2+3+...+79 =3160
50
PS lµ ph©n sè thø :3160+31=3191.
31
Bµi tËp t-¬ng tù :
1 2 1 3 2 1 4 3 2 1
XÐt d·y ph©n sè: ; , ; , , ; , , , ;....
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4
a, H·y nªu quy luËt cña d·y vµ viÕt tiÕp n¨m PS tiÕp theo cña d·y.
19
nguon tai.lieu . vn