Xem mẫu
- Bài tập toán cao cấp
Tập 2
Nguyễn Thủy Thanh
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr.
Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục
của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến,
Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riêng, Vi phân của hàm nhiều
biến, Cực trị của hàm nhiều biến.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.
- ˜ ’
ˆ
NGUYEN THUY THANH
` ˆ
BAI TAP
.
´
´ ˆ
TOAN CAO CAP
Tˆp 2
a
.
Ph´p t´ vi phˆn c´c h`m
e ınh aaa
´ ´
’
` ˆ ˆ ` ˆ
NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI
. . .
- Muc luc
. .
7 Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ ´
’
o ae a o 3
. .
7.1 Gi´.i han cua d˜y sˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
’ao
o. 4
7.1.1 C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜a gi´.i han .
aaae o. ı o. 5
.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn c´c
´
.o.’ ao.
7.1.2 Ch´ u ea
.
dinh l´ vˆ gi´.i han . . . . . . . . . . . . . . . .
y` o .
e 11
.
7.1.3 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn diˆu `
´
.o.’ ao.
u e e
.
’
’ea o .
kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´
e ey
. .
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.1.4 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn diˆu `
´
.o.’ ao.
u e e
.
’
e`
. a a’ea o.
kiˆn cˆn v` du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´ hˆi tu
e yo .
. .
Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . .. 25
.i han h`m mˆt biˆn . . . . . . . . . . . . . . . .
´
7.2 Gi´ .
o a o e .. 27
.
7.2.1 C´c kh´i niˆm v` dinh l´ co. ban vˆ gi´.i han
’`o.
a ae a. y e .. 27
.
7.3 H`m liˆn tuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a e. .. 41
Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . .
´
`
ae . ’ a
7.4 o. e e .. 51
´
8 Ph´p t´ vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ınh a a o e 60
.
-. a
8.1 Dao h`m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
-. a ´
8.1.1 Dao h`m cˆp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
a
-. a ´
8.1.2 Dao h`m cˆp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
a
8.2 Vi phˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 75
´
8.2.1 Vi phˆn cˆp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
aa 75
- 2 MUC LUC
. .
´
8.2.2 Vi phˆn cˆp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . .
aa 77
. ban vˆ h`m kha vi. Quy t˘c l’Hospital.
´
C´c dinh l´ co ’ ` a ’
8.3 a. y e a
Cˆng th´.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o u 84
8.3.1 C´c d inh l´ co. ban vˆ h`m kha vi . . . . . . . .
’ `a ’
a. y e 84
. c´c dang vˆ dinh. Quy t˘c Lˆpitan
´
’
8.3.2 Khu a o. a o
.
(L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.3.3 Cˆng th´.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . .
o u 96
´
`
9 Ph´p t´
e ınh vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
a a e e 109
-. a
9.1 Dao h`m riˆng . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . 110
-. a ´
9.1.1 Dao h`m riˆng cˆp 1 . . . . . . . .
e a . . . . . . . 110
9.1.2 Dao h`m cua h`m ho.p . . . . . . .
-. a ’a . . . . . . . 111
.
’
9.1.3 H`m kha vi . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . 111
9.1.4 Dao h`m theo hu.´.ng . . . . . . . .
-. a o . . . . . . . 112
-. a ´
9.1.5 Dao h`m riˆng cˆp cao . . . . . . .
e a . . . . . . . 113
´
`
a’a
9.2 Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . . . .
e e . . . . . . . 125
´
9.2.1 Vi phˆn cˆp 1 . . . . . . . . . . . .
aa . . . . . . . 126
´ ’ `
9.2.2 Ap dung vi phˆn dˆ t´nh gˆn dung
a eı a´ . . . . . . . 126
.
´
a ınh a ’
9.2.3 C´c t´ chˆt cua vi phˆn . . . . .
a . . . . . . . 127
´
9.2.4 Vi phˆn cˆp cao . . . . . . . . . . .
aa . . . . . . . 127
.c Taylor . . . . . . . . . .
9.2.5 Cˆng th´
o u . . . . . . . 129
’
a’aa
9.2.6 Vi phˆn cua h`m ˆn . . . . . . . . . . . . . . . 130
Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . . . . .
´
`
.’ a
9.3 e e . . . . . . 145
.
.c tri . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Cu . . . . . . 145
. .
.c tri c´ diˆu kiˆn . . . . . . . . . .
.o `
9.3.2 Cu e e . . . . . . 146
. .
.n nhˆt v` b´ nhˆt cua h`m .
´ ´
a ae a ’ a
9.3.3 Gi´ tri l´
a .o . . . . . 147
- Chu.o.ng 7
Gi´.i han v` liˆn tuc cua
’
o ae
. .
´
h`m sˆ
a o
Gi´.i han cua d˜y sˆ . . . . . . . . . . . . . .
´
’
7.1 o ao 4
.
7.1.1 C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜ gi´.i
aa ae o. ıa o
han . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
.
7.1.2 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
´
.o.’ ao.
u e
.
` gi´.i han . . . . . . . . . . . .
c´c d.nh l´ vˆ o .
ai ye 11
7.1.3 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a ´
.o.’
u ao.
.
’
` ’ea
trˆn diˆu kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn
e e e o. e l´
y
. .
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . 17
Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
´
.o.’ ao.
7.1.4 u e
.
’
e`
` . a a’ea o .
diˆu kiˆn cˆn v` du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn
e e
.
l´ hˆi tu Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25
yo ..
Gi´.i han h`m mˆt biˆn . . . . . . . . . . . . 27
´
7.2 o a o e
. .
7.2.1 C´c kh´i niˆm v` dinh l´ co. ban vˆ gi´.i han 27
’`o.
a ae a. y e
.
7.3 H`m liˆn tuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
a e .
Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn . 51
´
`
’
7.4 o ae a e e
. .
- Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
´
’a
4 o. ae . o
Gi´.i han cua d˜y sˆ
´
’
7.1 o ao
.
H`m sˆ x´c dinh trˆn tˆp ho.p N du.o.c goi l` d˜y sˆ vˆ han. D˜y sˆ
´ ´ ´
a oa . ea .aa oo. ao
. . .
thu.`.ng du.o.c viˆt du.´.i dang:
´
o e o.
.
a1, a2, . . . , an , . . . (7.1)
ho˘c {an }, trong d´ an = f (n), n ∈ N du.o.c goi l` sˆ hang tˆng qu´t
’
´
a o . ao . o a
. .
´. ´
’a ao e ’ o .
cua d˜y, n l` sˆ hiˆu cua sˆ hang trong d˜y. a
Ta cˆn lu.u y c´c kh´i niˆm sau dˆy:
`
a ´a ae a
.
.o.c goi l` bi ch˘n nˆu ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |an |
´
i) D˜y (7.1) du .
a .a. a e .
M ; v` goi l` khˆng bi ch˘n nˆu: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |an | > M .
´
a.a o .ae .
ii) Sˆ a du.o.c goi l` gi´.i han cua d˜y (7.1) nˆu:
´
´ ’a
o .ao . e
.
∀ ε > 0, ∃ N (ε) : ∀ n N ⇒ |an − a| < ε. (7.2)
iii) Sˆ a khˆng phai l` gi´.i han cua d˜y (7.1) nˆu:
´
´ ’ao . ’a
o o e
∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n N ⇒ |an − a| ε. (7.3)
iv) D˜y c´ gi´.i han du.o.c goi l` d˜y hˆi tu, trong tru.`.ng ho.p ngu.o.c
aoo. . .aa o . o
. . .
lai d˜y (7.1) goi l` d˜y phˆn k`.
a aa ay
. .
´
v) D˜y (7.1) goi l` d˜y vˆ c`ng b´ nˆu lim an = 0 v` goi l` d˜y
a . aa ou ee a.aa
n→∞
vˆ c`ng l´.n nˆu ∀ A > 0, ∃ N sao cho ∀ n > N ⇒ |an | > A v` viˆt
´ ´
ou o e ae
lim an = ∞.
’
` e ` ea o .aa o ’.a
vi) Diˆu kiˆn cˆn dˆ d˜y hˆi tu l` d˜y d´ phai bi ch˘n.
e .a . .
.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´.i:
Ch´ ´: i) Hˆ th´
uy eu o
.
−ε < an − a < ε ⇔ a − ε < an < a + ε. (7.4)
- 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
´
’ao
o. 5
Hˆ th´.c (7.4) ch´.ng to r˘ng moi sˆ hang v´.i chı sˆ n > N cua d˜y
` ´ ´
’a ’o ’a
eu u .o. o
.
e`
hˆi tu d` u n˘m trong khoang (a − ε, a + ε), khoang n`y goi l` ε-lˆn
’ ’
o.ˆ a a .a a
.
’
a’
cˆn cua diˆm a.
e
.
Nhu. vˆy, nˆu d˜y (7.1) hˆi tu dˆn sˆ a th` moi sˆ hang cua n´ tr`.
´ ´´ ´ ’ ou
a ea o.e o ı.o.
. .
.u han sˆ hang d` u n˘m trong ε-lˆn cˆn bˆt k` b´ bao
ˆ`
.´ ´ ´
ra mˆt sˆ h˜
oou . o. ea a a a ye
.
’
e u´’
nhiˆu t`y y cua diˆm a.
e
ii) Ta lu.u y r˘ng d˜y sˆ vˆ c`ng l´.n khˆng hˆi tu v` k´ hiˆu
´` ´
a a oou o o o .ay e
. .
lim an = ∞ (−∞) chı c´ ngh˜ l` d˜y an l` vˆ c`ng l´.n v` k´ hiˆu d´
’o ıa a a aou o ay e o.
.i han.
ho`n to`n khˆng c´ ngh˜ l` d˜y c´ gi´ .
a a o o ıa a a o o
C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜ gi´.i
7.1.1 a a a e o. ıa o
han
.
Dˆ ch´.ng minh lim an = a b˘ng c´ch su. dung dinh ngh˜a, ta cˆn tiˆn
’ ` ´
`
’.
eu a a ı a e
.
.´.c sau dˆy:
h`nh theo c´c bu o
a a a
i) Lˆp biˆu th´.c |an − a|
’
a e u
.
ii) Chon d˜y bn (nˆu diˆu d´ c´ lo.i) sao cho |an − a| bn ∀ n v`
´ ` oo.
a e e a
.
.i ε du b´ bˆt k` bˆt phu.o.ng tr` dˆi v´.i n:
´ ´ ´
’ea ya
v´
o ınh o o
bn < ε (7.5)
c´ thˆ giai mˆt c´ch dˆ d`ng. Gia su. (7.5) c´ nghiˆm l` n > f (ε),
’ ˜a
oe’ ’’
oa e o ea
. .
’´ a`
f (ε) > 0. Khi d´ ta c´ thˆ lˆy n l` [f (ε)], trong d´ [f (ε)] l` phˆn
o o ea a o a
e’
nguyˆn cua f (ε).
CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. Gia su. an = n(−1) . Ch´.ng minh r˘ng:
n
`
’’
ı. u a
i) D˜y an khˆng bi ch˘n.
a o .a.
ii) D˜y an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n.
’ aou
a o o
.ng minh r˘ng an thoa m˜n dinh ngh˜a d˜y khˆng
`
’ ’
Giai. i) Ta ch´u a a. ıa o
.i sˆ hiˆu n = 2([M ] + 1) b˘ng
`
´ o´.
bi ch˘n. Thˆt vˆy, ∀ M > 0 sˆ hang v´ o e
.a aa o. a
. ..
n v` l´.n ho.n M . Diˆu d´ c´ ngh˜ l` d˜y an khˆng bi ch˘n.
` oo
ao e ıa a a o .a .
- Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
´
’a
6 o. ae . o
ii) Ta ch´.ng minh r˘ng an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n. Thˆt vˆy,
` ’aou
u a o o aa
..
.i sˆ hiˆu le
’ ´ ’ ao´.
ta x´t khoang (−2, 2). Hiˆn nhiˆn moi sˆ hang cua d˜y v´ o e ’
’
e e e o.
.
` u thuˆc khoang (−2, 2) v` khi n le th` ta c´:
’ ’ı
dˆ
e o ı o
.
n
n(−1) = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2).
Nhu. vˆy trong khong (−2, 2) c´ vˆ sˆ sˆ hang cua d˜y. T`. d´,
´´
’ ’
a oooo . a uo
.
theo d.nh ngh˜ suy ra an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n.
’ aou
i ıa o o
V´ du 2. D`ng dinh ngh˜a gi´.i han d˜y sˆ dˆ ch´.ng minh r˘ng:
´’ `
ı. u ı o. a oe u a
.
(−1)n−1 n
1) lim = 0. 2) lim = 1.
n n+1
n→∞ n→∞
Giai. Dˆ ch´.ng minh d˜y an c´ gi´.i han l` a, ta cˆn ch´.ng minh
’ `
’ eu a oo.a a u
.i mˆ i sˆ ε > 0 cho tru.´.c c´ thˆ t`m du.o.c sˆ N (N phu
˜o ’ı
` ´ o´ ´
r˘ng dˆi v´
a oo ooe .o .
thuˆc ε) sao cho khi n > N th` suy ra |an − a| < ε. Thˆng thu.`.ng ta
o ı o o
.
c´ thˆ chı ra cˆng th´.c tu.`.ng minh biˆu diˆn N qua ε.
’ ’ ˜
oe’ o u o e e
1) Ta c´:
o
(−1)n−1 1
|an − 0| = =·
n n
Gia su. ε l` sˆ du.o.ng cho tru.´.c t`y y. Khi d´:
´
’’ ao o u´ o
1 1
·
n ε
V` thˆ ta c´ thˆ lˆy N l` sˆ tu. nhiˆn n`o d´ thoa m˜n diˆu kiˆn:
’´
´ `
´ eao’
ıe o ea ao. a e e
.
1 1
N> ⇒ < ε.
ε N
’ ’´ a`
(Ch˘ng han, ta c´ thˆ lˆy N = [1/ε], trong d´ [1/ε] l` phˆn nguyˆn
a o ea o a e
.
’
cua 1/ε).
Khi d´ ∀ n N th`
o ı:
1 1
|an − 0| = < ε.
n N
- 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
´
’ao
o. 7
(−1)n
` oo
Diˆu d´ c´ ngh˜ l` lim
e ıa a = 0.
n
n→∞
2) Ta lˆy sˆ ε > 0 bˆt k` v` t` sˆ tu. nhiˆn N (ε) sao cho ∀ n >
´´ ´ ´
ao a y a ım o . e
N (ε) th`:
ı
n
− 1 < ε.
n+1
Bˆt d˘ng th´.c
´’
aa u
1 1
|an − 1| < ε ⇔ < ε ⇔ − 1.
n+1 ε
1
− 1, t´.c l`:
’´ ´ a` e’
Do d´ ta c´ thˆ lˆy sˆ N (ε) l` phˆn nguyˆn cua
o o ea o a ua
ε
N (ε) = E ((1/ε) − 1).
Khi d´ v´.i moi n N ta c´:
oo o
.
n 1 1 n
−1 = < ε ⇒ lim = 1.
n+1 n+1 N +1 n→∞ n + 1
V´ du 3. Ch´.ng minh r˘ng c´c d˜y sau dˆy phˆn k`:
`
ı. u a aa a ay
n∈N
1) an = n, (7.6)
an = (−1)n ,n∈N
2) (7.7)
1
an = (−1)n + ·
3) (7.8)
n
Giai. 1) Gia su. d˜y (7.6) hˆi tu v` c´ gi´.i han l` a. Ta lˆy ε = 1.
´
’ ’’a o .ao o . a a
.
.i han tˆn tai sˆ hiˆu N sao cho ∀ n > N th`
Khi d´ theo dinh ngh˜a gi´ . ` . o e ´.
o ı o o ı
.
ta c´ |an − a| < 1 ngh˜ l` |n − a| < 1 ∀ n > N . T`. d´ −1 < n − a < 1
o ıa a uo
∀ n > N ⇔ a − 1 < n < a + 1 ∀ n > N.
Nhu.ng bˆt d˘ng th´.c n < a + 1, ∀ n > N l` vˆ l´ v` tˆp ho.p c´c
´’
aa u a oy ıa a
. .
sˆ tu. nhiˆn khˆng bi ch˘n.
´
o. e o .a .
. d˜y an hˆi tu v` c´ gi´.i han l` a. Ta lˆy lˆn
´
’’
2) C´ch 1. Gia su a
a o .ao o . a aa
.
1 1
cua diˆm a. Ta viˆt d˜y d˜ cho du.´.i dang:
’ ´
’
cˆn a − , a +
a e eaa o.
. 2 2
{an } = −1, 1, −1, 1, . . . . (7.9)
- Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
´
’a
8 o. ae . o
1 1
’
`
ıoa ’ ’
V` dˆ d`i cua khoang a − , a + l` b˘ng 1 nˆn hai diˆm −1
aa e e
. 2 2
1 1
v` +1 khˆng thˆ d` ng th`.i thuˆc lˆn cˆn a − , a +
’o ’
’
a o eˆ o oaa cua diˆm a,
e
. . 2 2
v` khoang c´ch gi˜.a −1 v` +1 b˘ng 2. Diˆu d´ c´ ngh˜a l` o. ngo`i
` ` oo
’ ı a’
ı a u a a e a
1 1
´
´´ ’ a aı e
lˆn cˆn a − , a +
aa c´ vˆ sˆ sˆ hang cua d˜y v` v` thˆ (xem ch´
oooo . u
. 2 2
y o. trˆn) sˆ a khˆng thˆ l` gi´.i han cua d˜y.
’
´
´’ e ’a
o o ea o .
1
C´ch 2. Gia su. an → a. Khi d´ ∀ ε > 0 (lˆy ε = ) ta c´
´
’’
a o a o
2
1
|an − a| < ∀ n N.
2
V` an = ±1 nˆn
ı e
1 1
|1 − a| < , | − 1 − a| <
2 2
11
⇒2 = |(1 − a) + (1 + a)| |1 − a| + |a + 1| + =1
22
⇒2 < 1, vˆ l´.
oy
1
3) Lu.u y r˘ng v´.i n = 2m ⇒ a2m = 1 + . Sˆ hang kˆ v´.i n´
` `o o
´
´a o o. e
2m
´.
oo e ’
c´ sˆ hiˆu le 2m + 1 (hay 2m − 1) v`
a
1 1
a2m+1 = −1 + < 0 (hay a2m−1 = −1 + 0).
2m + 1 2m − 1
T`. d´ suy r˘ng
`
uo a
|an − an−1 | > 1.
Nˆu sˆ a n`o d´ l` gi´.i han cua d˜y (an ) th` b˘t dˆu t`. sˆ hiˆu n`o
´´ ı´ ` uo e a ´.
’
eo a oa o . a aa
1
d´ (an ) thoa m˜n bˆt d˘ng th´.c |an − a| < . Khi d´
´’
’
o aaa u o
2
11
|an − an+1 | |an − a| + |an+1 − a| < + = 1.
22
Nhu.ng hiˆu gi˜.a hai sˆ hang kˆ nhau bˆt k` cua d˜y d˜ cho luˆn luˆn
`
´ ´
a y’ a a
e u o. e o o
.
l´.n ho.n 1. Diˆu mˆu thuˆ n n`y ch´.ng to r˘ng khˆng mˆt sˆ thu.c
˜ `
` .´
’a
o e a a a u o oo.
.i han cua d˜y d˜ cho.
’ ’aa
n`o c´ thˆ l` gi´ .
a o ea o
- 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
´
’ao
o. 9
` ˆ
BAI TAP
.
H˜y su. dung dinh ngh˜ gi´.i han dˆ ch´.ng minh r˘ng
’ `
a’. ıa o . e u a
.
2n − 1
´
1. lim an = 1 nˆu an =
e
2n + 2
n→∞
3n2 + 1
3
´u an =
2. lim an = nˆ e
5n2 − 1
5
n→∞
´t dˆu t`. sˆ hiˆu N n`o th`
` uo e ´.
B˘ a
a a ı:
|an − 3/5| < 0, 01 (DS. N = 5)
3n + 1
´
3. lim an = 1 nˆu an =
e .
3n
n→∞
cos n
4. lim = 0.
n
n→∞
2n + 5 · 6n
5. lim = 5.
n→∞ 3n + 6n
√ 3
n2 sin n2
6. lim = 0.
n+1
n→∞
7. Ch´.ng minh r˘ng sˆ a = 0 khˆng phai l` gi´.i han cua d˜y an =
` ´ ’ao . ’
u a o o a
2
n −2
.
2n2 − 9
8. Ch´.ng minh r˘ng `
u a
n2 + 2n + 1 + sin n
lim = 1.
n2 + n + 1
n→∞
9. Ch´.ng minh r˘ng d˜y: an = (−1)n + 1/n phˆn k`.
`
u a a ay
10. Ch´.ng minh r˘ng d˜y; an = sin n0 phˆn k`.
`
u a a ay
11. T` gi´.i han cua d˜y: 0, 2; 0, 22; 0, 222; . . . , 0, 22 . . . 2, . . .
’a
ım o .
n
Chı dˆ n. Biˆu diˆn an du.´.i dang
’˜ ’ ˜
a e e o.
22
2 2
an = 0, 22 . . . 2 = + + ··· + n (DS. lim an = 2/9)
10 10 10
- Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
´
’a
10 o. ae . o
gi´.i ´
’
12. T`
ım o han cua d˜y
a sˆ:
o
.
0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; . . . , 0, 2 33 . . . 3, . . .
n
Chı dˆ n. Biˆu diˆn an du.´.i dang
’˜ ’ ˜
a e e o.
2 3 3 3
an = + + 3 + ··· + n (DS. 7/30)
2
10 10 10 10
13. Ch´.ng minh r˘ng nˆu d˜y an hˆi tu dˆn a, c`n d˜y bn dˆn dˆn
` ´ ´ ´
`
u a ea o.e oa ae
.
a´
`e
∞ th` d˜y an /bn dˆn dˆn 0.
ıa
14. Ch´.ng minh r˘ng
`
u a
n
i) lim n = 0.
n→∞ 2
n
ii) lim n = 0 (a > 1).
n→∞ a
Chı dˆ n. i) Su. dung hˆ th´.c:
’˜ ’.
a eu
.
n2
n(n − 1) n(n − 1)
2n = (1 + 1)n = 1 + n + + ··· + 1 > n + > ·
2 2 2
v` u.´.c lu.o.ng |an − 0|.
ao .
.o.ng tu. nhu. i). Su. dung hˆ th´.c:
’.
ii) Tu eu
. .
n(n − 1)
an = [1 + (a − 1)]n > (a − 1).
2
15. Ch´.ng minh r˘ng
`
u a
1 1
´
lim an = 2 nˆu an = 1 +
e + ··· + n
2 2
Chı dˆ n. Ap dung cˆng th´.c t´nh tˆng cˆp sˆ nhˆn dˆ t´nh an rˆi
’˜ ´ ’ ’ `
´´
a o uı o a o a eı o
.
u.´.c lu.o.ng |an − 2|.
o .
16. Biˆt r˘ng d˜y an c´ gi´.i han, c`n d˜y bn khˆng c´ gi´.i han. C´
´`
ea a oo. oa o oo. o
thˆ n´i g` vˆ gi´.i han cua d˜y:
’
eo ı` o . ’a
e
i) {an + bn }.
ii) {an bn }.
(DS. i) lim{an + bn } khˆng tˆn tai. H˜y ch´.ng minh.
`.
o o a u
- 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
´
’ao
o. 11
ii) C´ thˆ g˘p ca hai tru.`.ng ho.p c´ gi´.i han v` khˆng c´ gi´.i han,
’.
o ea ’ o . oo. ao oo.
v´ du:
ı.
n−1 1
, bn = (−1)n ; , bn = (−1)n .
an = an =
n n
Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
´
.o.’
7.1.2 u ao. e
.
c´c dinh l´ vˆ gi´.i han
y` o .
a. e
Dˆ t´nh gi´.i han cua d˜y sˆ, ngu.`.i ta thu.`.ng su. dung c´c dinh l´ v`
’ ´
’ao ’.
eı o. o o a. ya
kh´i niˆm sau dˆy:
ae a
.
. lim an = a, lim bn = b.
’’
Gia su
i) lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn = a ± b.
ii) lim an bn = lim an · lim bn = a · b.
iii) Nˆu b = 0 th` b˘t dˆu t`. mˆt sˆ hiˆu n`o d´ d˜y an /bn x´c
´ ı´` u ooe a oa .´.
e aa a
dinh (ngh˜ l` ∃ N : ∀ n N ⇒ bn = 0) v`:
ıa a a
.
an lim an a
lim = =·
bn lim bn b
iv) Nˆu lim an = a, lim bn = a v` b˘t dˆu t`. mˆt sˆ hiˆu n`o d´
´ ´a
aa` u oo e a o .´.
e
an zn bn th` lim zn = a (Nguyˆn l´ bi ch˘n hai phi´).
ı e y. a a
.
v) T´ cua d˜y vˆ c`ng b´ v´.i d˜y bi ch˘n l` d˜y vˆ c`ng b´.
ıch ’ a o u eo a . a aa ou e
.
1
vi) Nˆu (an ) l` d˜y vˆ c`ng l´.n v` an = 0 th` d˜y
´
e aa ou oa ıa l` d˜y vˆ
aa o
an
1
c`ng b´; ngu.o.c lai, nˆu αn l` d˜y vˆ c`ng b´ v` αn = 0 th` d˜y
´
u e ..e aa ou ea ıa
αn
l` vˆ c`ng l´.n.
aou o
Nhˆn x´t. Dˆ ´p dung dung d´n c´c dinh l´ trˆn ta cˆn lu.u y mˆt
’ `
ae ea ´ a
˘a. ye a ´o
. . .
´.
sˆ nhˆn x´t sau dˆy:
oae a
i) Dinh l´ (iii) vˆ gi´.i han cua thu.o.ng s˜ khˆng ´p dung du.o.c nˆu´
`o. ’
y e eoa .e
. .
tu. sˆ v` mˆ u sˆ khˆng c´ gi´.i han h˜.u han ho˘c mˆ u sˆ c´ gi´.i han
˜´ ˜ oo o .
´ a´
’oa a o o oo. u a
. .
.ng tru.`.ng ho.p d´ nˆn biˆn dˆi so. bˆ d˜y thu.o.ng,
´’
`
b˘ng 0. Trong nh˜
a u o oe eo oa
. .
. sˆ v` mˆ u sˆ v´.i c`ng mˆt
’ ˜´
` a ’´
ch˘ng han b˘ng c´ch chia ho˘c nhˆn tu o a a o o u
a a a a o
. . .
’u th´.c.
biˆ
e u
- Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
´
’a
12 o. ae . o
ii) Dˆi v´.i dinh l´ (i) v` (ii) c˜ng cˆn phai thˆn trong khi ´p dung.
`
´ ’
oo. y a u a a a
. . .
.`.ng ho.p n`y ta cˆn phai biˆn dˆi c´c biˆu th´.c an ± bn v`
’ ’
´
` ’
Trong tru o a a e oa e u a
.
an · bn tru.´.c khi t´ gi´.i han (xem v´ du 1, iii).
o ınh o . ı.
´
iii) Nˆu an = a ≡ const ∀ n th` lim an = a.
e ı
n→∞
CAC V´ DU
´ I .
´
V´ du 1. T` lim an nˆu:
ı. ım e
1) an = (1 + 7 )/(3 − 7n )
n+2
2) an = (2 + 4 + 6 + · · · + 2n)/[1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1)]
3) an = n3 /(12 + 22 + · · · + n2)
’ ´´´
’ e’aaaa
Giai. Dˆ giai c´c b`i to´n n`y ta d`ng l´ thuyˆt cˆp sˆ
u y eao
1) Nhˆn tu. sˆ v` mˆ u sˆ phˆn th´.c v´.i 7−n ta c´:
˜´
´
a ’oa a o a uo o
1 + 7n+2 7−n + 72
an = =
3 − 7n 3 · 7−n − 1
Do d´
o
7−n + 72
= −49 v` lim 7−n = 0, n → ∞.
lim an = lim ı
3 · 7−n − 1
2) Tu. sˆ v` mˆ u sˆ d` u l` cˆp sˆ cˆng nˆn ta c´:
˜ ´e
´ ´ ´.
’oa a oˆ aa oo e o
2 + 2n
2 + 4 + 6 + · · · + 2n = · n;
2
1 + (2n + 2)
1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) = (n + 1).
2
Do d´
o
n
an = ⇒ lim an = 1.
n+1
3) Nhu. ta biˆt:
´
e
n(n + 1)(2n + 1)
12 + 22 + · · · + n2 =
6
- 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
´
’ao
o. 13
v` do d´:
a o
6n3
lim an = lim
n(n + 1)(2n + 1)
6
= lim = 3.
(1 + 1/n)(2 + 1/n)
V´ du 2. T` gi´.i han
ı. ım o .
11 1
1+ + + ··· + n
24 2
lim
11 1
1 + + + ··· + n
39 3
Giai. Tu. sˆ v` mˆ u sˆ d` u l` cˆp sˆ nhˆn nˆn
˜ ´e
´ ´´
’ ’oa a oˆ aa o a e
2(2n − 1)
1 1
1+ + ··· + = ,
2n 2n
2
3(3n − 1)
1 1
1 + + ··· + =
3n 2 · 3n
3
v` do d´:
a o
2(2n − 1) 2 · 3n 2n − 1 2 3n
lim an = lim · = 2 lim · lim n
2n 3(3n − 1) 2n 3 3 −1
2 1 2 4
= 2 lim[1 − (1/2)n ] · lim =2·1· ·1= ·
n
3 1 − (1/3) 3 3
V´ du 3.
ı.
√
1) an = n2 + n − n
√ √
2) an = 3 n + 2 − 3 n
√
3) an = 3 n2 − n3 + n
’
Giai.
1) Ta biˆn dˆi an b˘ng c´ch nhˆn v` chia cho dai lu.o.ng liˆn ho.p
´’ `
eo a a aa e.
. .
√ √
( n2 + n − n)( n2 + n + n) n 1
√ =√
an = =
n2 + n + n n2 + n + n 1 + 1/n + 1
Do d´
o
1 1
lim an = = ·
2
lim ( 1 + 1/n + 1)
n→∞
- Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
´
’a
14 o. ae . o
2) Biˆn dˆi an tu.o.ng tu. nhu. 1) ta c´:
´’
eo o
.
√ √3
3
3
n+2 − 3n
an = √ √ √ √
2 2
3
n+2 + 3n+2· 3n+ 3n
2
an = √ √ √ √
2 2
3
n+2 + 3n+2· 3n+ 3n
Biˆu th´.c mˆ u sˆ b˘ng:
’ ˜ oa
a ´`
e u
2
n 2/3 3 3
1 + 2/n + 1 + 2/n + 1 → ∞
khi n → ∞ v` do d´ lim an = 0.
a o
√
3) Ta c´ thˆ viˆt n = n3 v` ´p dung cˆng th´.c:
3
’´
oee aa o u
.
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
suy ra
√ √ √
2
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
3 3
n2 − n3 + n
an = √ √
2
3
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
n2
=√ √
2
3
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
1
= 2/3 − [1/n − 1]1/3 + 1
[1/n − 1]
1
suy ra lim an = ·
3
V´ du 4. T` gi´.i han cua c´c d˜y sau
’aa
ı. ım o .
n n
an = √ , bn = √ ,
2+n 2+1
n n
1 1 1
cn = √ +√ + ··· + √ ·
n2 + 2 n2 + n
n+1
Giai. D` u tiˆn ta ch´.ng minh lim an = 1. Thˆt vˆy:
’ a
ˆ e u aa
..
n 1
lim an = lim = lim = 1.
n 1 + 1/n 1 + 1/n
- 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
´
’ao
o. 15
Tu.o.ng tu. lim bn = 1.
.
’ t`m gi´.i han cua cn ta s˜ ´p dung Nguyˆn l´ bi ch˘n hai ph´a.
’
Dˆ ı
e o. ea e y. a ı
. .
Mˆt m˘t ta c´:
o a o
. .
1 1 1 n
cn < √ +√ + ··· + √ =√ = bn
n2 n2 n2 2+1
+1 +1 +1 n
nhu.ng m˘t kh´c:
a a
.
1 1 1
cn > √ +√ + ··· + √ = an .
n2 + n n2 + n n2 + n
Nhu. vˆy an < cn < bn v` lim an = lim bn = 1. T`. d´ suy ra
a a uo
. n→∞ n→∞
lim cn = 1.
n→∞
V´ du 5. Ch´.ng minh r˘ng d˜y (q n ) l`: 1) d˜y vˆ c`ng l´.n nˆu
` ´
ı. u a a a a ou o e
|q | > 1; 2) d˜y vˆ c`ng b´ khi |q | < 1.
a ou e
Giai. 1) Gia su. |q | > 1. Ta lˆy sˆ A > 0 bˆt k`. T`. d˘ng th´.c
’
´´ ´
’ ’’ ao ay ua u
|q | > A ta thu du.o.c n > log|q| A. Nˆu ta lˆy N = [log|q|A] th` ∀ n > N
n ´ ´
e a ı
.
.n.
n n
ta c´ |q | > A. Do d´ d˜y (q ) l` d˜y vˆ c`ng l´
o oa aa ou o
1 n −1 1
2) Gia su. |q | < 1, q = 0. Khi d´ q n =
’’ o . V`
ı > 1 nˆn
e
q q
1n 1 n −1
l` d˜y vˆ c`ng l´.n v` do d´ d˜y
d˜y
a aa ou oa oa l` vˆ c`ng
aou
q q
b´, t´.c l` d˜y (q n ) l` d˜y vˆ c`ng b´ khi |q | < 1.
eu aa aa ou e
3) Nˆu q = 0 th` q = 0, |q | < ε ∀ n v` do d´ (q n ) l` vˆ c`ng b´.
n n
´
e ı a o aou e
` ˆ
BAI TAP
.
T` gi´.i han lim an nˆu
´
ım o . e
n→∞
n2 − n
√.
1. an = (DS. ∞)
n− n
√
2. an = n2 (n − n2 + 1). (DS. −∞)
- Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
´
’a
16 o. ae . o
1 + 2 + 3 + ··· + n
√
3. an = . (DS. 1/6)
9n4 + 1
√
n cos n
4. an = . (DS. 0)
n+1
5n sin n
5. an = + . (DS. 5)
n+1 n
n3 3n2
6. an = 2 − . (DS. 1/3)
n + 1 3n + 1
n cos n
7. an = − . (DS. 1)
n + 11 10n
n3 + 1
8. an = 2 (DS. ∞)
n −1
cos n3 3n 1
9. an = − . (DS. − )
n 6n + 1 2
n
(−1)
10. an = √ . (DS. 0)
5 n+1
√ √
n2 + 1 + n
11. an = √ √. (DS. +∞)
3
n3 + n − n
√
12. an = 3 1 − n3 + n. (DS. 0)
√
n2 + 4n
13. an = √ . (DS. 1)
3
n3 − 3n2
(n + 3)!
14. an = . (DS. −∞)
2(n + 1)! − (n + 2)!
2 + 4 + · · · + 2n
15. an = − 2. (DS. −1)
n+2
√ 1
16. an = n − 3 n3 − n2 . (DS. )
3
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − · · · − 2n 1
√ √
17. an = . (DS. − )
3
n2 + 1 + 4n2 + 1
1 1 1
18. an = + + ··· + .
1·2 2·3 n(n + 1)
1 1 1
’˜ ´
Chı dˆ n. Ap dung
a =− (DS. 1)
. n(n + 1) n n+1
- 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
´
’ao
o. 17
(−1)n−1
11 1 3
19. an = 1 − + − + ··· + . (DS. )
3n−1
3 9 27 4
n+1 n+1
2 +3
20. an = . (DS. 3)
n + 3n
2
n + (−1)n
21. an = . (DS. 1)
n − (−1)n
1 1 1 1
22. an = √ √ √ +√ √ + ··· + √ √
n 2n − 1 + 2n + 1
1+ 3 3+ 5
Chı dˆ n. Truc c˘n th´.c o. mˆ u sˆ c´c biˆu th´.c trong dˆu ngo˘ c.
’˜ ˜´ ’ ´
u’ a oa
a .a e u a a
.
1
(DS. √ )
2
1 1 1
23. an = + + ··· +
1·2·3 2·3·4 n(n + 1)(n + 2)
.´.c hˆt ta ch´.ng minh r˘ng
’˜ ´ `
Chı dˆ n. Tru o e
a u a
1 1 1 1 1
= − (DS. )
n(n + 1)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 4
1 1 1 1
24. an = + + ··· + . (DS. )
a1a2 a2 a3 an an+1 a1 d
trong d´ {an } l` cˆp sˆ cˆng v´.i cˆng sai d = 0, an = 0.
´ ´.
o aa oo oo
1
25. an = (1 − 1/4)(1 − 1/9) · · · (1 − 1/(n + 1)2 ). (DS. )
2
n+2
Chı dˆ n. B˘ng quy nap to´n hoc ch´.ng to r˘ng an =
’˜ ` `
’a
a a a u .
. . 2n + 2
Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
´
.o.’
7.1.3 u ao. e
.
’
` ’ea
diˆu kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´
e e o. ey
. .
Bolzano-Weierstrass)
D˜y sˆ an du.o.c goi l`:
´
ao .a
.
´
i) D˜y t˘ng nˆu an+1 > an ∀ n
aa e
´
’
ii) D˜y giam nˆu an+1 < an ∀ n
a e
C´c d˜y t˘ng ho˘c giam c`n du.o.c goi l` d˜y do.n diˆu. Ta lu.u y
’
aaa a o .aa e ´
. . .
r˘ng d˜y do.n diˆu bao gi`. c˜ng bi ch˘n ´t nhˆt l` mˆt ph´ Nˆu d˜y
` ´
´
a a e ou . aı aao ıa. e a
. . .
- Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
´
’a
18 o. ae . o
do.n diˆu t˘ng th` n´ bi ch˘n du.´.i bo.i sˆ hang dˆu tiˆn cua n´, d˜y
`
´
o ’o. e’
ea ıo. a a oa
. .
.n diˆu giam th` bi ch˘n trˆn bo.i sˆ hang dˆu. Ta c´ dinh l´ sau dˆy
`
´
’ ’o.
do e ı. a e a o. y a
. .
thu.`.ng du.o.c su. dung dˆ t´nh gi´.i han cua d˜y do.n diˆu.
’
.’. ’a
o eı o. e.
Dinh l´ Bolzano-Weierstrass. D˜y do.n diˆu v` bi ch˘n th` hˆi tu.
-. y a e a. a ıo.
. . .
’ ng d.nh vˆ su. tˆn tai cua gi´.i han m` khˆng chı
`.` . ’ ’
D.nh l´ n`y kh˘
i ya a i e o o. ao
ra du.o.c phu.o.ng ph´p t` gi´.i han d´. Tuy vˆy, trong nhiˆu tru.`.ng
`
a ım o . o a e o
. .
.p khi biˆt gi´.i han cua d˜y tˆn tai, c´ thˆ chı ra phu.o.ng ph´p t´nh
’
´ ’ a` .oe’
ho eo. o aı
.
n´. Viˆc t´nh to´n thu.`.ng du.a trˆn d˘ng th´.c dung v´.i moi d˜y hˆi
’
o eı a o ea u´ o .ao
. . .
tu:
.
lim an+1 = lim an .
n→∞ n→∞
Khi t´ gi´.i han du.a trˆn d˘ng th´.c v`.a nˆu tiˆn lo.i ho.n ca l` su.
’ ’a’
ınh o . ea uu e e.
. .
dung c´ch cho d˜y b˘ng cˆng th´.c truy hˆi.
a` `
a a o u o
.
CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. Ch´.nh minh r˘ng d˜y:
`
ı. u a a
1 1 1
an = +2 + ··· + n hˆi tu.
o.
.
5+1 5 +1 5 +1
Giai. D˜y d˜ cho do.n diˆu t˘ng. Thˆt vˆy v`
’ aa ea a a ı:
. ..
1
an+1 = an + nˆn an+1 > an .
e
5n+1 + 1
D˜y d˜ cho bi ch˘n trˆn. Thˆt vˆy:
aa .a e aa
. ..
1 1 1 1 1 1 1
an = +2 +3 + ··· + n < + 2 + ··· + n
5+1 5 +1 5 +1 5 +1 55 5
1 1
−
5 5n+1 = 1 1 − 1 < 1 ·
=
1 5n
4 4
1−
5
Nhu. vˆy d˜y an d˜ cho do.n diˆu t˘ng v` bi ch˘n trˆn nˆn n´ hˆi
aa a ea a. a e e oo
. . . .
tu.
.
nguon tai.lieu . vn
