Xem mẫu
- CHƯƠNG 5
ƯỚC LƯỢNG
CÁC THAM SỐ CỦA ĐLNN
- Chương 5
ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ CỦA ĐLNN
1. Ước lượng điểm.
2. Ước lượng bằng khoảng tin cậy.
• Ước lượng kỳ vọng toán của ĐLNN.
• Ước lượng tỷ lệ của đám đông.
• Ước lượng phương sai của ĐLNN.
- Chương 5
§1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
1.1 Ước lượng điểm
Giả sử cần ước lượng tham số θ của ĐLNN X trên một đám
đông nào đó.
• Ta lấy mẫu ngẫu nhiên W = (X1,X2,…,Xn)
• Tùy thuộc vào θ, XDTK: θ* = f(X1,X2,…,Xn).
• Khi n khá lớn với mẫu cụ thể w = (x1,x2,…,xn), tính toán
θ*tn = f (x1,x2,…,xn)
Ta lấy θ ≈ θ*tn làm ước lượng điểm cho tham số θ.
- Chương 5
§1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
1.2 Các tiêu chuẩn đánh giá bản chất tốt của ước lượng.
1.2.1 Ước lượng không chệch.
Thống kê θ* được gọi là ước lượng không chệch của θ nếu
E(θ*) = θ
Ngược lại, ta nói θ* được gọi là ước lượng chệch của θ .
- Chương 5
§1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
1.2 Cáctiêuchuẩnđánhgiábảnchấttốtcủaướclượng.
1.2.1 Ướclượngkhôngchệch.
Ta có: X làướclượngkhôngchệchcủaμ.
S’ 2làướclượngkhôngchệchcủaσ 2.
Nếuθ*làướclượngchệchcủaθvàđượcgọilàướclượngtiệmcậnkhô
ngchệchnếu θ =θ
- .
Chương 5
§1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
1.2.2 Ước lượng vững.
Thống kê θ* được gọi là ước lượng vững của θ nếu với mọi
ε >0 ta có: lim P( * ) 1
n
Theo định lý Trêbưsép (trường hợp đặc biệt) thì:
• X là ước lượng vững của μ.
• f là ước lượng không chệch của p.
- Chương 5
§1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
1.2 Các tiêu chuẩn đánh giá bản chất tốt của ước lượng.
1.2.3 Ước lượng hiệu quả (ước lượng không chệch tốt nhất).
Thống kê θ* được gọi là ước lượng hiệu quả của θ nếu nó là
ước lượng không chệch và có phương sai nhỏ nhất so với các
ước lượng không chệch khác trên cùng một mẫu.
• X là ước lượng hiệu quả của μ.
• f là ước lượng hiệu quả của p.
- Chương 5
§1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
1.2 Các tiêu chuẩn đánh giá bản chất tốt của ước lượng.
1.2.4 Ước lượng đủ.
Thống kê θ* được gọi là ước lượng đủ của θ nếu nó chứa
toàn bộ thông tin từ mẫu.
Trung bình mẫu, phương sai mẫu … là các ước lượng đủ
Chú ý: Tuy ước lượng điểm đơn giản nhưng có hạn chế là
không biết sai số cũng như có thể gặp sai số rất lớn nếu kích
thước mẫu nhỏ.
- Chương 5
§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.1 Khái niệm.
Giả sử cần ước lượng tham số θ của ĐLNN X trên đám đông.
• Chọn mẫu ngẫu nhiên W = (X1,X2, …, Xn),
• Từ ước lượng điểm tốt nhất của θ xây dựng thống kê:
G = f(X1,X2, …, Xn, θ)
sao cho G có quy luật xác định và có biểu thức chứa θ.
- Chương 5
§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
Vớiγ = 1- αchotrước, xácđịnhα1≥ 0, α2 ≥0 thỏamãnα1+ α2 = α.
Từđóxácđịnhcácphânvị g1- α1và gα2:
P(g
- Chương 5
§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
Chú ý:
+ Thường chọn độ tin cậy khá lớn như 0,9; 0,95 hay
0,99…. theo nguyên lý xác suất lớn thì biến cố (θ*1 < θ < θ*2 )
hầu chắc chắn xảy ra trong một lần thực hiện phép thử.
+ Xác suất mắc sai lầm trong ước lượng khoảng là α.
- Chương 5
§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
+ Khi G có phân phối N(0,1) hoặc phân phối Student
nếu chọn α1= α2 = α/2 ta có khoảng tin ngắn nhất và đó là các
khoảng tin cậy đối xứng
+ Để ước lượng giá trị tối đa hoặc tối thiểu của θ ta
chọn α1= α hoặc α2 = α
- Chương 5
§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.2 Ước lượng kỳ vọng toán của ĐLNN.
Giả sử ĐLNN X trên đám đông có E(X) = μ và Var(X) = σ2
trong đó μ chưa biết.
2.2.1 ĐLNN X có phân phối chuẩn, phương sai đã biết.
Vì X ~ N(μ; σ2) nên
2 X
X ~ N (; ) U ~ N (0;1)
n
n
- Chương 5
§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.2.1 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn, phươngsaiđãbiết.
•Khoảng tin cậyđối xứng (α1 = α2=α/2)
Vớiđộ tin cậy 1- αtatìmđượcphânvị uα/2saocho
P(- uα/2< U< uα/2 ) = 1- α
P(− uα/2 < σ < uα/2 ) = 1− α
σ σ
P( uα/2 + uα/2) = 1- α
- Chương 5
§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.2.1 ĐLNN X có phân phối chuẩn, phương sai đã biết.
P( X X ) 1
Khoảng tin cậy đối xứng của μ: (X ; X )
trong đó u
n 2
- Chương 5
§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
Khi đó: * Độ tin cậy của ước lượng là 1- α = γ .
* Khoảng tin cậy đối xứng: ( X ; X )
* Độ dài của khoảng tin cậy I = 2ε.
* Sai số của ước lượng là ε.
Chú ý: Nếu khoảng tin cậy đối xứng là (a; b) thì sai số
của ước lượng được tính theo công thức: ε = (b-a)/2.
- Chương 5
§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.2.1 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn, đãbiết.
Ta cóbabàitoáncầngiảiquyết:
•Bàitoán 1: Biếtkíchthướcmẫu n, biếtđộ tin cậy,
cầntìmsaisốhoặckhoảng tin cậy.
• Bài toán 2: Biết kích thước mẫu n, biết sai số ε, tìm độ tin
cậy.
n
u / 2 1
2
- Chương 5
§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.2.1 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn, đãbiết.
•Bàitoán 3: Biếtđộ tin cậy, biếtsaisố, cầntìmkíchthướcmẫutốithiểu
2u 2 /2
n
2
Chú ý: Nếu biết μ, cần ước lượng X ta sẽ có:
P( X ) 1
- Chương 7
§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.2.1 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn, đãbiết.
•Khoảng tin cậyphải: (α1 = 0; α2= α ULgiátrịtốithiểucủaμ)
Ta vẫndùngthốngkêtrên, vớiđộ tin cậy 1 – α,
xácđịnhphânvịuαsaocho : P(U
- Chương 5
§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.2.1 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn, đãbiết.
•Khoảng tin cậytrái: (α1 = α; α2= 0 ULgiátrịtốiđa củaμ).
Ta vẫndùngthốngkêtrên, vớiđộ tin cậy 1 – α,
xácđịnhphânvịuαsaocho : P(-uα< U) = 1 – α
P( X .u ) 1
n
Khoảng tin cậy trái: (; X .u )
n
nguon tai.lieu . vn
