Xem mẫu
- 07:35
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA ĐIỆN - ĐIỆN TỬ
1. Tên học phần: TOÁN KỸ THUẬT
2. Số tín chỉ: 3 (2LT+1 TH)
3. Phân bổ thời gian: 60 tiết
BÀI GIẢNG: - Lý thuyết: 30 tiết;
- Bài tập: 30 tiết.
TOÁN KỸ THUẬT 4. Tiêu chuẩn đánh giá sinh viên:
GV: Nguyễn Cao Trí - Điểm KT giữa học phần: 30%;
- Điểm thi kết thúc học phần: 70%.
Bình Dương 2/2016
1 2
5. Tài liệu học tập:
5.1. Tài liệu bắt buộc:
Lê Bá Long, “Toán kỹ thuật”
5.2. Tài liệu tham khảo:
NỘI DUNG
[1]. Nguyễn Kim Đính, “Hàm phức và ứng CHƯƠNG 1: HÀM BIẾN PHỨC
dụng”, Trường Đại Học Kỹ Thuật Tp Hồ Chí CHƯƠNG 2: THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG
Minh, 1998. CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE
[2]. Nguyễn Kim Đính, “Phép biến đổi Laplace”, CHƯƠNG 4: ỨNG DỤNG LAPLACE VÀO
Trường Đại Học Kỹ Thuật Tp Hồ Chí Minh, GIẢI TÍCH MẠCH ĐIỆN
1998. CHƯƠNG 5: FOURIER
3 4
- 07:35
1.1. Số phức
CHƯƠNG 1: HÀM BIẾN PHỨC
♦ Số phức có dạng: z = x + iy
1.1. Số phức i: số ảo đơn vị; i2 = -1
1.2. Hàm biến phức
1.3. Giới hạn và liên tục x = Re{z): phần thực của z
1.4. Đạo hàm y = Im{z): phần ảo của z.
1.5 Điều kiện Cauchy- Riémann ♦ Biểu diễn số phức trong mặt phẳng phức:
1.6 Các tính chất của hàm phức
1.7 Các hàm sơ cấp
5 6
♦ Biểu diễn số phức dưới dạng tọa độ cực:
♦ Số phức liên hợp của z = x + iy là số:
♦ Hai số phức z1 = x1+ iy1 và z2 = x2+ iy2 bằng
nhau khi:
Giá trị này được tính từ công thức:
7 8
- 07:35
♦ Số phức cũng có các tính chất tương tự như trên số
thực như:
- Giao hoán ♦ Phép cộng, trừ:
- Kết hợp
z1 ± z2 = (x1± x2) + i(y1 ± y2)
- Phân bố
- Phần tử đơn vị: ♦ Phép nhân:
0(0,0): Phần tử đơn vị đối với toán cộng;
1(1,0): Phần tử đơn vị đối với toán nhân. (x1+ iy1).(x2+ iy2) = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1)
- Số nghịch đảo
♦ Phép chia:
Số nghịch đảo cộng: z = (x,y) và -z = (-x,-y)
Số nghịch đảo nhân: z = (x,y)
và
9 10
♦ Ví dụ 1: Tính
1.2. Hàm biến phức
♦ Ví dụ 2: Tính x và y nếu: (x + y +2) + (x2 + y)i = 0
Giải: Viết 0(0,0) và theo định nghĩa 2 số phức bằng
nhau, ta có: x + y +2 = 0 và x2 + y = 0.
Suy ra 2 nghiệm: x=2, y= -4 hoặc x= -1,y= -1.
♦ Ví dụ 3:
♦ Ví dụ:……..
Bài tập: Ví dụ 1.4,1.5,……1.13 quyển 1 (Hàm
phức và ứng dụng”, Trường Đại Học Quôc gia Tp
Hồ Chí Minh)
11 12
- 07:35
MỘT SỐ KHÁI NIỆM ♦ Vùng: một tập điểm chứa tất cả các điểm của một
♦ Cận (gần nhau): cận ε của điểm z0 là tập điểm z nằm trong tập mở và không/vài/tất cả các điểm biên của nó được
đường tròn tâm z0 có bán kính ε, gọi là một vùng, kí hiệu R.
♦ Điểm trong/điểm ngoài: điểm z0 của một tập điểm S được ♦ Vùng kín ( R): một vùng được gọi là kín nếu nó chứa
gọi là nằm bên trong S nếu có một cận của z0 hoàn toàn nằm tất cả các điểm biên của nó.
trong S và được gọi là điểm ngoài của S nếu có một cận của z0
không chứa điểm nào của S. ♦ Vùng có biên: một vùng được gọi là có biên nếu tồn
♦ Điểm biên: điểm z0 được gọi là điểm biên của S nếu z0 tại một hằng số M > 0 sao cho tất cả các điểm z của
không phải điểm trong cũng không phải điểm ngoài. Viis dụ |z| vùng thỏa mãn |z| ≤ M, nghĩa là chúng nằm trong
= 1 là biên của tập sau: S1: |z| = 1 và S2 : |z| ≤ 1. đường tròn.
♦ Tập hở: S được gọi là một tập điểm hở nếu nó không chứa ♦ Vùng kết hợp: một vùng vừa có biên, vừa kín thì
điểm biên nào, tất cả các điểm của S đều là các điểm trong. được gọi là kết hợp. Ví dụ, vùng |z| ≤ 1 là vùng kết
hợp vì nó vừa kín và vừa có biên. Vùng |z| < 1 là vùng
mở và có biên
13 14
♦ Miền: một vùng hở và liên thông được gọi là một miền, kí
♦ Vùng liên thông: giả sử ta có n điểm z1, z2, …, zn trong
hiệu D. Ví dụ, S {z re i : 0 arg z 0 } là một miền
mặt phẳng. Mặt phẳng đó có một đường gấp khúc gồm (n-1)
không có biên
đoạn theo trình tự z1 z2 , z2 z3 , …, zn1 zn . Một vùng được gọi là
liên thông nếu hai điểm bất kì trong các điểm của nó có thể
được nối bằng đường gấp khúc có trong vùng đó
15 16
- 07:35
Một số miền đơn liên và đa liên thường gặp 1.2. Hàm biến phức
♦ Hàm biến phức: Nếu với mỗi z R , có tương ứng duy
nhất một số phức w(z), khi đó ta nói w(z) là một hàm của
biến phức z, được viết dưới dạng
w f (z)
♦ Tổng quát: f(z) có thể được viết dưới dạng
w f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
♦ Ví dụ: cho w = f(z) = z2 tìm u(x,y) và v(x,y)
w f ( z ) z 2 ( x iy ) 2
w f ( z ) z 2 x 2 y 2 2ixy
Vậy u(x,y) = x2 – y2 và v(x,y) = 2xy
17 18
1.3. Giới hạn và liên tục 1.4. Đạo hàm
♦ Giới hạn:
Hàm số w = f(z) được xác định trong vùng lân cận z = z0,
ngoại trừ tại z0. Ta nói f(z) có giới hạn là w0 nếu khi z → z0 thì
f(z) → w0 (z0, w0 hữu hạn)
lim f ( z ) w0
z z0
nếu với mọi ε > 0 (đủ nhỏ) luôn có một δ > 0 sao cho
f ( z ) w0 khi 0 z z0
♦ Liên tục:
Hàm f(z) được gọi là liên tục tại z0 nếu:
lim f ( z ) f ( z0 )
z z0
19 20
- 07:35
1.5. Điều kiện Cauchy- Riémann
♦ Đạo hàm của các hàm số cơ bản
Giả sử f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) có đạo hàm thì các đạo
hàm riêng cấp 1:
Điều kiện tồn tại df/dz là:
21 22
1.6. Các tính chất của hàm giải tích
1.7. Các hàm sơ cấp
Hàm giải tích có 3 tính chất thú vị và quan trọng trong 3
định lý sau: Hàm mũ
1. Nếu hàm f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trong miền D và Hàm lượng giác
nếu u và v có các đạo hàm cấp 2 liên tục trong D thì D, u Hàm Hypebôn
và v thỏa pt Laplace sau:
Hàm logarit và các nhánh của nó
2. Nếu hàm f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trong miền D thì Hàm lũy thừa tổng quát
trong D các đường cong của họ u(x,y) = c là những quỹ Hàm lượng giác ngược và Hypebôn ngược
đạo trực giao của các đường cong của họ v(x,y) = k và
ngược lại.
3. Nếu trong hàm giải tích w = u(x,y) + iv(x,y) ta thay x và y
theo z và : thì w sẽ chỉ là hàm của z mà thôi.
Với:
23 24
- 07:35
1.7. Các hàm sơ cấp
Hàm lượng giác
Hàm mũ: Là hàm cơ bản nhất, nó còn được dùng
để định nghĩa các hàm cơ bản khác:
ez: Đơn trị và giải tích khắp nơi;
dez/dz = ez
ez trở thành ex khi Imz =0
25 26
Hàm Hypebôn Hàm lôgarit và các nhánh của nó
Hàm lôgarit là hàm ngược của hàm mũ. Cho z ≠ 0,
tìm w sao cho: ew= z = r.eiθ
Hàm lôgarit được định nghĩa:
lnz = lnr + i(θ+2nπ) (- π < θ ≤ π; n Є Z)
- Nếu gọi argz = θ+2nπ = Argz +2nπ là acgumen của
z, ta có: lnz = ln│z│+ iargz (z ≠ 0).
Vậy lnz là hàm vô số trị. Nếu chọn trước một số n ta
sẽ xác định được một nhánh của hàm. Nếu n=0 ta sẽ
được nhánh chính của hàm, ký hiệu là Lnz.
Lnz = lnr + iθ ; (- π < θ ≤ π)
Lnz = ln │z│ + iArgz
Nhánh n của hàm lôgarit cho bởi: lnz = Lnz + i2nπ
27 28
- 07:35
Hàm lượng giác ngược và Hypebôn ngược
Hàm lượng giác ngược và Hypebôn ngược
Các hàm này là các hàm ngược của các hàm
lượng giác và hypebôn:
29 30
Hàm lũy thừa tổng quát CHƯƠNG 2: THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG
Cho số phức s. Nếu z ≠ 0 ta định nghĩa hàm lũy
2.1 Khái niệm
thừa của z như sau: zs = eslnz
2.2 Định lý
Trong đó: lnz - là hàm vô số trị. 2.3 Thặng dư tại các cực
zs - là hàm vô số trị. 2.4 Ứng dụng tính tích phân xác định
2.5 Ứng dụng tính phân Laplace ngược
31 32
- 07:35
Đối với các hàm giải tích trong một vùng hình khuyên
hay một vòng tròn thủng
ta có thể biểu diễn f(z) bằng chuỗi 2.1 Khái niệm
Laurent:
Hệ số a-1 của 1/(z-z0) trong triển khai
Laurent của f(z) trong cận:
0 < │z - z0 │< R của một điểm bất thường
cô lập z - z0 được gọi là thặng dư của f(z) tại
z0, ký hiệu là Res{f(z); z0}.
33 34
2.2 Định lý
Định lý 2: Nếu f(z) có quá nhiều điểm cực
trong C, việc tính toán thặng dư cũng khá vất
vả. Ta sử dụng công thức sau để tính:
2.2 Định lý 1
Định lý 1: 1
f ( z ) dz 2 i . Re s 2 f ;0
Nếu C là một đường kín đơn và f(z) là hàm giải tích c z z
trong và trên C ngoại trừ tại một số điểm bất thường zk
trong C thì:
n
f ( z ) dz 2 i R es f z ; z k
c k 1
35 36
- 07:35
2.3 Thặng dư tại các cực
Một điểm bất thường cô lập a của hàm f(z) 2.4 Ứng dụng tính tích phân xác định
là một cực cấp m nếu và chỉ nếu f(z) có thể viết Định lý 1:
dưới dạng: z Nếu F(cosθ, sinθ) là một hàm hữu tỷ của
f z
cosθ và sinθ, hữu hạn trên khoảng kín 0 ≤ θ ≤ π
z a
m
và nếu f(z)dz là biểu thức có được từ
Trong đó: z giải tích tại a và a 0; F(cosθ, sinθ)dθ bằng cách thay thế:
0
(a ) (a ) z z 1 z z 1 dz
Với qui ước: và 0! = 1 cos ; sin ; d
2 2i iz
( m 1 ) 2 n
Ta có: thì : F cos , sin .d 2 i Re s f ( z ); z x
Re s f z ; a a
m 1!
0 k 1
1 d m 1 Trong đó: z1,z2,…zn là các cực của f(z)
m 1! lim m 1
(z a)m f ( z) nằm trong vòng tròn đơn vị | z | = 1.
z a dz
37 38
2.4 Ứng dụng tính tích phân xác định Hệ luận 1: (Trị chính Cauchy tồn tại)
Định lý 2: Nếu f(x)= P(x)/Q(x), trong đó P(x) và Q(x)
Nếu f(z) là một hàm giải tích trong nửa mặt là 2 đa thức sao cho: bậc Q(x) ≥ bậc P(x)+2 và
phẳng trên Imz >0 ngoại trừ một số hữu hạn cực nếu Q(x) không có nghiệm thực thì:
không nằm trên trục thực và nếu zf(z) hội tụ về 0 n
khi z→∞ qua các giá trị sau cho: f ( x ) dx 2 i Re s f ( z ); z k
k 1
a arg z
n
Trong đó: z1,z2,…zn là các cực của f(z)
thì : f ( x ) dx 2 i Re s f ( z ); z k nằm trong nửa mặt phẳng trên.
k 1
Trong đó: z1,z2,…zn là các cực của f(z) nằm
trong nửa mặt phẳng trên.
39 40
- 07:35
Hệ luận 2:
Nếu f(z) là một hàm giải tích nằm trong 2.4 Ứng dụng tính tích phân xác định
nửa mặt phẳng trên ngoại trừ ở một số hữu hạn Định lý 3:
cực không nằm trên trục thực và nếu zf(z) hội tụ Nếu f(z) là một hàm giải tích khắp nơi trong
đều về 0 khi z→∞ trong nửa mặt phẳng trên, thì mặt phẳng z ngoại trừ một số hữu hạn cực không
với a>0 ta có: nằm trên trục thực dương và nếu zaf(z) hội tụ đều
về 0 khi z→0 và khi z→∞ thì:
n
f ( x) cos axdx 2 Im
Re s eiaz f ( z); zk n
k 1
x a 1
f ( x)dx
sin a
Re s( z)
k 1
a 1
f ( z ); zk
n
f ( x ) sin axdx 2 Re iaz
Re s e f ( z); zk Trong đó: z1,z2,…zn là tất cả các cực của
k 1 (-z)a-1f(z) với điều kiện lấy argz trong khoảng(-π,π).
41 42
2.5 Ứng dụng tính Laplace ngược
Định lý: Nếu F(s) là hàm giải tích của s ngoại trừ
CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE
tại một số hữu hạn cực nằm bên trái của đường
thẳng: Res = a, và nếu sF(s) bị chặn khi s→∞ 3.1. Phép biến đổi Laplace THUẬN
trong nữa mặt phẳng trái Res ≤ a thì: 3.2. Phép biến đổi Laplace NGHỊCH
n 3.3. Ứng dụng giải phương trình vi phân
L-1 F ( s ) Re s F ( s ) e st ; s k
k 1
Trong đó: s1, s2,…sn là các cực của F(s).
43 44
- 07:35
Số TT f(t) F(s)
1
1 u(t) BiẾN ĐỔI LAPLACE
BẢNG ; s> 0
CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE s 1
2 e-at ; s> -a
3.1. Phép biến đổi Laplace THUẬN s a
s
Biến đổi Laplace của hàm f(t) được định nghĩa: 3 cosat ; s> 0
s2 a2
a
4 sinat ; s> 0
F ( s ) L f (t ) f (t ) e st dt n!
s a2
2
0
5 tn ; n=0,1,2... n 1 ; s> 0
s sa
6 e-at cosbt (s a)2 b 2 ; s> -a
b
7 e-at sinbt (s a)2 b 2
; s> -a
n!
8 e-at tn (s a ) n 1 ; s> -a
tcosat s2 a2 ; s> 0
9
45 (s 2 a 2 )2 46
BẢNG BiẾN ĐỔI LAPLACE CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BiẾN ĐỔI LAPLACE
Số TT f(t) F(s)
t sinat 2 as ;s>0
10
(s 2 a 2 )2
s
11 coshat ; s> |a|
s2 a2
a
12 sinhat ; s> |a|
s2 a2
t.u(t) = r(t) 1 ; s> 0
13 R (s)
s2
14 t2/2.u(t) = p(t) 1 ; s> 0
P (s)
s3
15 tn-1/(n-1)!.u(t) = δn-1(t) 1 ; s> 0
sn
16 δ(t) 1 ; s> 0
17 δ’ (t) s ;
s> 0
18 δ(n) (t) sn ; 47 48
- 07:35
CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE KHAI TRIỂN HEAVISIDE
3.2. Phép biến đổi Laplace NGHỊCH - Trong quá trình tìm biến đổi Laplace
Hàm f(t) cho bởi tích phân ngược phức: ngược của các phân số hữu tỉ P(s)/Q(s)
1 a i khi gặp trường hợp bậc của mẫu Q(s)
f (t ) L-1 F ( s ) F ( s ) e st ds lớn hơn bậc của tử P(s) ta khai triển
2 i a i
P(s)/Q(s) thành tổng nhiều phân số sơ
cấp.
- Biến đổi Laplace ngược của các phân
số hữu tỉ là tổng các biến đổi Laplace
ngược các phân số sơ cấp.
49 50
3.3. Ứng dụng giải phương trình vi phân:
3.3. Ứng dụng giải phương trình vi phân: Xét phương trình vi phân hệ số hằng:
Bước 1: ay(t)”+by(t)’+cy(t) = f(t) với : Y(0)=y0; y’(0)=y’0.
Dùng phép biến đổi Laplace biến Trong đó:
- y(t) là hàm ẩn cần tìm;
phương trình vi phân biến t, hàm ẩn y(t)
- a,b,c là các hằng số;
thành phương trình đại số biến s, hàm - f(t) là vế 2 của phương trình vi phân;
ẩn Y(s). - y0, y’0 là các gía trị ban đầu của y và y’.
Lấy biến đổi Laplace của 2 vế:
Bước 2: Giải pt đại số đó để tìm Y(s).
a L{y(t)”} + b L{y(t)’} +c L{y(t)} = L{f(t)}
Bước 3: a[s2Y(s)-sy(0)-y’(0)] + b[sY(s)-y(0)] +cY(s)= F(s)
Dùng phép biến đổi Laplace ngược (as2+bs+c)Y(s) -(as+b)y0 –ay’0 = F(S).
để tìm y(t) = L-1{y(s)}. F ( s) (as b) y0 ay0'
=> Y ( s)
51
as 2 bs c 52
- 07:35
CHƯƠNG 4: ỨNG DỤNG LAPLACE VÀO 4.1 Quan hệ dòng áp
GIẢI TÍCH MẠCH ĐIỆN
4.1 Quan hệ dòng áp
4.2 Định luật Kirchhoff
4.3 Tổng trở và tổng dẫn
4.4 Mạch điện miền -s
4.5 Hàm truyền
4.6 Giải mạch bằng hàm truyền khi điều kiện
đầu khác không
53 54
4.1 Quan hệ dòng áp 4.1 Quan hệ dòng áp:
- Biến đổi Laplace - Tổng trở của R, L, C:
- iL(0_): dòng điện ban đầu chạy qua cuộn dây;
- vC(0_): điện ấp ban đầu giữa 2 bản của tụ;
55 56
- 07:35
4.2 Định luật Kirchhoff : (miền –t) 4.2 Định luật Kirchhoff: (miền –s)
- Tổng dòng điện đến 1 nút bằng 0: - Tổng dòng điện đến 1 nút bằng 0
i1(t) + i2(t) + i3(t) + i4(t) = 0. I1(s) + I2(s) + I3(s) + I4(s) = 0
- Tổng điện áp của vòng kín bằng 0
- Tổng điện áp của vòng kín bằng 0: V1(s) + V2(s) + V3(s) + V4(s) = 0
v1(t) + v2(t) + v3(t) + v4(t) = 0
57 58
4.4 Mạch điện miền –s
4.3 Tổng trở và tổng dẫn Giải mạch trong miền –s được tiến hành như sau:
- Nghịch đảo của tổng trở Z(s) được gọi là tổng dẫn: Bước 1: Chuyển từ miền –t sang miền –s bằng cách:
1 I (s) - Thay biến t bởi biến s.
Y (s) ; Tất cả điều kiện đầu bằng 0.
Z (s) V (s) - Thay v(t), i(t) bởi V(s), I(s);
1 - Thay R, L, C bằng ZR(s) = R; ZL(s) = sL;
YR (s) G;
R ZC(s)=1/sC;
1 - Thay nguồn áp và nguồn dòng độc lập vg(t), ig(t)
YL (s) ;
sL bởi Vg(s), Ig (s);
Yc ( s ) sC . - Giữ nguyên chiều dương giả thiết của áp, dòng,
nguồn áp và nguồn dòng.
Bước 2: Giải mạch miền –s để tìm V(s), I(s).
Bước 3: Chuyển từ miền –s sang miền –t bằng biến
đổi Laplace ngược: v(t)= L-1{V(s)}; i(t)=L-1{I(s)}.
59 60
- 07:35
4.4 Mạch điện miền –s
4.4 Mạch điện miền –s Dùng phép biến đổi Thevenin-Norton ta có được
mạch tương đương R, L, C trong miền –s (dạng
Đưa các điều kiện đầu vào mạch miền –s
Norton): Nguồn dòng có được bằng nguồn áp chia
cho tổng trở.
61 62
4.4 Hàm truyền
4.4.1 Hàm truyền đối với một hàm vào 4.4 Hàm truyền
Gọi X(s) là hàm vào và Y(s) là hàm ra của một 4.4.2 Hàm truyền đối với nhiều hàm vào
mạch điện trong miền –s. Người ta gọi hàm truyền Giả sử hàm có n nguồn độc lập, ký hiệu là X1(s),
H(s) là tỉ số của hàm ra và hàm vào khi tất cả điều kiện X2(s)….Xn(s) ta muốn tìm hàm Y(s) do các nguồn đó
đầu bằng không. tạo nên, với tất cả điều kiện ban đầu bằng 0. Ta thực
Y (s)
H (s) hiện như sau:
X (s) Bước 1: Chỉ cho X1(s) làm việc và cho các X(s)
- X(s), Y(s): Có thể là dòng hoặc áp; khác có giá trị bằng 0. Tìm Y1(s) theo X1(s).
- Khi biết được H(s) ta có thể tính được Y(s) đối với Bước 2, 3,…n: Tương tự bước 1.
bất cứ hàm vào X(s) nào: Y(s) =H(s).X(s). Tìm Y2,3…(s) theo X2,3…n(s).
- Để tìm y(t) ta chỉ việc lấy Laplace ngược của Y(s). Theo nguyên lý xếp chồng khi ta cho tất cả các
Muốn tìm H(s) ta cho tất cả điều kiện đầu bằng 0, nguồn X1(s), X2(s)….Xn(s) cùng làm việc, ta có:
vẽ mạch trong miền –s. Sau đó tính giá trị hàm ra cần Y(s)= Y1(s)+Y2(s)+…+Yn(s)
khảo sát và chia cho hàm vào. H(s) Y(s)= H1(s) X1(s)+H2(s) X2(s)+…+Hn(s) Xn(s).
63 64
- 07:35
4.6 Giải mạch bằng hàm truyền khi đk đầu ≠ 0
Bước 1: Ta xây dựng mạch miền –s có chứa các điều
kiện ban đầu: Các nguồn áp LiL(0_) và vC(0_)/s hoặc
các nguồn dòng iL(0_) /s và CvC(0_).
Bước 2: Chỉ cho tập các nguồn độc lập làm việc, tập
các nguồn điều kiện đầu nghỉ. Dùng phương pháp
hàm truyền H(s) để xác định đáp ứng cưỡng bức do
tập các nguồn độc lập tạo ra.
Bước 3: Cho tập các nguồn điều kiện đầu làm việc,
tập các nguồn độc lập nghỉ. Xác định đáp ứng tự
nhiên do tập các nguồn điều kiện đầu tạo ra.
Bước 4: Xác định đáp ứng đầy đủ (ng.lý xếp chồng)
là tổng của đáp ứng cưỡng bức và đáp ứng tự nhiên.
65 66
nguon tai.lieu . vn
