Xem mẫu
- ' $
TS. PHAN ĐỨC TUẤN
TOÁN CAO CẤP C2
ĐẠI HỌC SÀI GÒN
& %
- Lời nói đầu
Học phần Toán cao cấp C2 giới thiệu về ma trận, định thức, hệ phương
trình tuyến tính và không gian véctơ.
Học phần yêu cầu sinh viên đạt được những mục tiêu sau:
Về kiến thức: Hiểu biết về ma trận; định thức; các phương pháp giải hệ
phương trình tuyến tính; ứng dụng trong bài toán kinh tế; các vấn đề trong
không gian véc-tơ.
Về kỹ năng: Biết tính toán trên ma trận; giải hệ phương trình tuyến tính
và các bài toán trong không gian vecto.
Về phương pháp học tập: Sinh viên nhận tài liệu và đọc trước các bài
giảng; đặt câu hỏi thảo luận và làm bài tập đầy đủ.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 03 năm 2022
Phan Đức Tuấn
- Những kí hiệu
Trong cuốn sách này ta dùng những kí hiệu với các ý nghĩa xác định
trong bảng dưới đây:
N tập hợp số tự nhiên
N∗ tập hợp số tự nhiên khác 0
Z tập hợp số nguyên
Q tập hợp số hữu tỉ
R tập hợp số thực
C tập hợp số phức
In Ma trận đơn vị cấp n
Mm × n ( R ) Tập hợp tất cả các ma trận cấp m × n
Rn Không gian véc tơ n chiều trên R
Mn ( R ) Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường số thực
0m × n Ma trận không cấp m × n
A −1 Ma trận nghich đảo của ma trận A
AT Ma trận chuyển vị của ma trận A
−A Ma trận đối của ma trận A
∅ tập hợp rỗng
- Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Những kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Chương 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN
TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. MA TRẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Khái niệm về ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Các ma trận đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1. Ma trận bậc thang dòng (echelon matrix): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2. Các phép biến đổi sơ cấp dòng (BĐSC) trên các ma trận (elemen-
tary row operations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2.3. Ma trận khả nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Định thức của ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1. Phép thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2. Khai triển Lapace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.3. Tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.4. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.5. Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.1. Phương pháp Gauss: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.2. Phương pháp Cramer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.1. Mối liên hệ giữa hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và hệ
phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.1. Mô hình cân bằng thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.2. Mô hình Input-Output Leontief. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Chương 2. KHÔNG GIAN VÉC TƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
- 2 MỤC LỤC
Danh mục từ khóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
- CHƯƠNG 1
MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1.1. MA TRẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Khái niệm về ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Các ma trận đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1. Ma trận bậc thang dòng (echelon matrix): . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2. Các phép biến đổi sơ cấp dòng (BĐSC) trên các ma trận (ele-
mentary row operations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3. Ma trận khả nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Định thức của ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1. Phép thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2. Khai triển Lapace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.3. Tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.4. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.5. Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.1. Phương pháp Gauss: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.2. Phương pháp Cramer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.1. Mối liên hệ giữa hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và hệ
phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế . . . . . . . . 35
1.6.1. Mô hình cân bằng thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.2. Mô hình Input-Output Leontief . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.1. MA TRẬN
1. Khái niệm ma trận. Các loại ma trận.
2. Các phép toán đại số trên ma trận.
- 4 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3. Ma trân bạc thang dòng và các phép biến đổi sơ cấp dòng.
4. Ma trận nghịch đảo và cách tìm ma trận nghịch đảo.
5. Hạng của ma trận và cách tìm hạng ma trận.
1.1.1. Khái niệm về ma trận
Một bảng hình chữ nhật gồm m × n số thực được sắp thành m dòng và n cột
được gọi là ma trận cấp m × n.
Ví dụ ma trận
7 8 9
A= 5 6 7
1 2 3
là ma trận có 3 dòng 3 cột có cấp là 3 × 3.
Dạng tổng quát của Ma trận được biểu diễn như sau
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
A = ( aij )m×n = .. .. .. ,
..
. . . .
am1 am2 · · · amn
trong đó
i được gọi là chỉ số dòng.
j được gọi là chỉ số cột.
aij là phần tử nằm ở dòng i và cột j.
Đôi khi người ta ký hiệu ma trận dạng móc vuông như sau:
1 2 3
A= 4 5 6
7 8 9
Tập hợp tất cả các ma trận cấp m × n được ký hiệu là Mm×n (R).
Các ví dụ về ma trận:
1) Ma trận
A= 10 −7 5
là ma trận cấp 1 × 3.
- 1.1 MA TRẬN 5
Nói chung một ma trận chỉ có một dòng (m = 1) như ma trận trên thì
được gọi là ma trận dòng.
2) Ma trận
5
−5
B=
−6
9
là ma trận cấp 4 × 1.
Một ma trận chỉ có một cột như ma trận ở trên (n = 1) thì được gọi là ma
trận cột.
3) Bảng số hình chữ nhật 2 dòng 3 cột như thế này
11 −7 5
A=
3 5 6
được gọi là là ma trận cấp 2 × 3.
1.1.2. Các ma trận đặc biệt
1. Ma trận vuông: Ma trận có số dòng bằng số cột (m = n) được gọi là ma
trận vuông cấp n, ký hiệu A = ( aij )n .
Dạng tổng quát của ma trận vuông được biểu diễn như sau
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
A = ( aij )n = .. .. .. .
. ...
. .
an1 an2 · · · ann
Các phần tử a11 ; a22 ; ...; ann tạo thành một đường chéo trên ma trận vuông
và gọi là đường chéo chính.
Các phần tử a1n ; a2(n−1) ; ...; a1n cũng tạo thành đường chéo trên ma trận
vuông và gọi là đường chéo phụ.
Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệu là Mn (R).
Ví dụ ma trận
1 2 3
A= 4 5 6
7 8 9
- 6 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
là ma trận vuông cấp ba (do ma trận lúc này hình vuông nên người ta gọi là
ma trận vuông). Các phần tử 1; 5; 9 tạo thành một đường chéo gọi là đường
chéo chính và các phần tử 3; 5; 7 tạo thành đường chéo còn lại gọi là đường
chéo phụ.
2. Ma trận chéo: Ma trận vuông A = ( aij )n được gọi là ma trận chéo nếu
aij = 0; ∀i ̸= j. Ký hiệu dưới dạng tổng quát là A = dig( a11 ; a22 ; ...; ann ).
Ví dụ: Ma trận
1 0 0
A = 0 5 0 = dig(1; 5; 9)
0 0 9
là ma trận chéo hay ma trận đường chéo.
3. Ma trận đơn vị. Ma trận chéo cấp n có tất cả các phần tử trên đường
chéo chính bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In .
Ví dụ:
1 0
I2 =
0 1
1 0 0
I3 = 0 1 0
0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
I4 =
0 0 1 0
0 0 0 1
là các ma trận đơn vị cấp 2, 3, 4.
4. Ma trận tam giác trên. Ma trận vuông A = ( aij )n được gọi là ma trận
tam giác trên nếu nếu các phần tử ở dưới đường chéo chính bằng 0, hay
aij = 0∀i > j.
Ví dụ ma trận
1 2 3
A= 0 5 6
0 0 9
là ma trận tam giác trên.
5. Ma trận tam giác dưới. Ma trận vuông A = ( aij )n được gọi là ma
trận tam giác dưới nếu nếu các phần tử ở trên đường chéo chính bằng 0, hay
aij = 0∀i < j.
- 1.1 MA TRẬN 7
Ví dụ ma trận
1 0 0
A= 4 5 0
7 8 9
là ma trận tam giác dưới.
Ma trận tam giác trên hoặc ma trận tam giác dưới gọi chung là ma trận
tam giác.
6. Ma trận không. Ma trận cấp m × n có tất cả các phần tử bằng không,
ký hiệu 0m×n (đôi khi là 0), được gọi là ma trận không.
Ma trận không cấp m × n có dạng
0 0 ··· 0
0 0 ··· 0
A = (0) m × n = .... . . ..
. . . .
0 0 ··· 0
7. Ma trận chuyển vị. Cho ma trận A = ( aij )m×n , ma trận có cấp n × m
nhận được từ ma trận A bằng cách đổi dòng thành cột (hoặc đổi cột thành
dòng) được gọi là ma trận chuyển vị của A, ký hiệu A T , nghĩa là A T =
( a ji )n×m . Ví dụ ma trận chuyển vị của ma trận cấp 4 × 3
1 2 3
4 5 6
A= 7 8 9
10 11 12
là ma trận có cấp 3 × 4 sau
1 4 7 10
A T = 2 5 8 11
3 6 9 12
8. Ma trận đối xứng. Ma trận vuông A = ( aij )n được gọi là ma trận đối
xứng nếu các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo chính thì bằng nhau,
nghĩa là aij = a ji ∀i, j.
Ví dụ ma trận cấp 4 × 4 sau
1 2 3 4
2 5 6 1
A=
3 6 9 −2
4 1 −2 −1
- 8 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
là ma trận đối xứng.
9. Ma trận phản đối xứng. Ma trận vuông A = ( aij )n được gọi là ma
trận phản đối xứng nếu các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo chính
thì đối nhau, nghĩa là aij = − a ji ∀i, j.
Ví dụ ma trận cấp 4 × 4 sau
0 2 −3 4
−2 0 −6 −1
A=
3 6 0 −2
−4 1 2 0
là ma trận phản đối xứng.
Chú ý từ định nghĩa ta suy ra các phần tử trên đường chéo chính của ma
trận phản đối xứng thì bằng 0.
1.1.3. Các phép toán trên ma trận
1. Hai ma trận bằng nhau. Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng
cùng cỡ và có tất cả các phần tử tương ứng vị trí bằng nhau.
Ví dụ. Tìm x, y, z, t sao cho hai ma trận sau bằng nhau
x+y y+z
A=
t + y t + 2z
1 2
B=
3 4
Lời giải. Theo định nghĩa hai ma trận bằng nhau khi và chỉ khi:
x+y =1
y + z =2
t+y =3
t + 2z =4
Từ hệ phương trình trên ta giải ra được x = 0; y = 1; z = 1; t = 2.
2. Nhân một số với một ma trận. Nhân một số với một ma trận là nhân
số đó với tất cả các phần tử của ma trận.
Cho A = ( aij )m×n thì với mỗi k ∈ R ta có kA = (kaij )m×n .
- 1.1 MA TRẬN 9
Đặc biệt (−1) A = (− aij )m×n được gọi là ma trận đối của ma trận A, ký
hiệu − A.
Ví dụ cho
1 2
A=
3 4
thì
−5 −10
(−5) A =
−15 −20
−1 −2
−A =
−3 −4
Chú ý từ định nghĩa ta suy ra: A ∈ Mm×n (R) thì 0.A = 0m×n , 1.A = A.
3. Cộng hai ma trận. Cộng hai ma trận cùng cấp là cộng các phần tử tương
ứng vị trí. Tương ứng trừ hai ma trận cùng cấp là trừ các phần tử cùng vị trí.
Nếu A = ( aij )m×n và B = (bij )m×n thì A + B = ( aij + bij )m×n
A − B = ( aij − bij )m×n = A + (− B).
Ví dụ:
1. Thực hiện các phép tính trên ma trận.
Cho
1 1
A= 4 0
2 4
9 8
B= 2 8
0 4
Tính A + B và 5A − 2B.
Lời giải. Ta có
1 1 9 8 1+9 1+8 10 9
A+B = 4 0 + 2 8 = 4+2 0+8 = 6 8
2 4 0 4 2+0 4+4 2 8
Ta có
5 5 18 16 5 − 18 5 − 16 −13 −11
5A − 2B = 20 0 − 4 16 = 20 − 4 0 − 16 = 16 −16
10 20 0 8 10 − 0 20 − 8 10 12
- 10 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2. Cho
3 −2 6
A= 4 3 −8
2 −2 5
và
5 7 −1
B= 4 0 7
3 6 5
Tìm ma trận X sao cho
a) A − X = B;
b) 3A + 2X = I3 ;
Lời giải: a) Ta có
−2 −9 7
A−X = B ⇔ X = A−B = 0 3 −15
−1 −8 0
b) Ta có
−8 6 −18
2X = I3 − 3A = −12 −8 −24
−6 6 −14
−4 3 −9
⇔X= −6 −4 −12
−3 3 −7
4. Tích của hai ma trận.
Cho hai ma trận A = ( aij )m×n và B = (bij )n× p . Tích của ma trận A với ma
trận B, ký hiệu AB, là một ma trận có cấp m × p và nếu AB = (cij )m× p thì cij
được xác định bởi công thức cij = ∑nk=1 aik bkj = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj .
Nghĩa là phần tử cij của ma trận tích AB là tổng của n tích các phần tử
của hàng i của ma trận A và cột j của ma trận B (theo thứ tự từ 1 đến n).
Chú ý rằng tích hai ma trận tồn tại khi số cột của ma trận đứng trước
bằng với số dòng của ma trận đứng sau.
Ma trận tích có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước và có số
cột bằng số cột của ma trận đứng sau.
Phép nhân hai ma trận, nói chung, không có tính giao hoán.
Lấy ví dụ ma trận hàng cấp 1 × 4 nhân ma trận cột cấp 4 × 1 như sau:
- 1.1 MA TRẬN 11
b11
b12
a11 a12 a13 a14
b13
b14
sẽ được một ma trận cấp 1 × 1 là
b11
b21
a11 a12 a13 a14 b31 = ( a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 + a14 b41 )
b41
Cụ thể hơn
5
5
10 7 5 1
6 = (10.5 + 7.5 + 5.6 + 1.9) = (124)
9
Trường hợp nhân hai ma trận nhiều dòng nhiều cột ta làm tương tự, lấy
ví dụ nhân hai ma trận cấp 2 × 3 và 3 × 2 sau:
−1 0
11 −7 5 3 1 = − 32 − 7
3 5 6 12 5
0 0
ta được một ma trận cấp 2 × 2 với c11 = 11.(−1) + (−7).3 + 5.0 = −32,
c12 = 11.0 + (−7).1 + 5.0 = −7, c21 = 3.(−1) + (5).3 + 6.0 = 12 , c22 =
3.0 + 5.1 + 6.0 = 5, trong đó cij là phần tử dòng i cột j của ma trận tích như
kết quả ở trên.
Ví dụ. Cho
1 −1 3
A = 1 −1 2
1 −1 1
và
1 2 −1
B = 1 −2 −2
0 2 −3
Tính AB và BA
- 12 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Lời giải. Ta có
0 10 −8
AB = 0 8 −5
0 6 −2
và
2 −2 6
BA = −3 3 −3
−1 1 1
Chú ý ví dụ trên cho ta thấy AB ̸= BA tức phép nhân ma trận không có
tính giao hoán.
Nếu A ∈ Mn (R) (tập các ma trận vuông cấp n) thì AA luôn luôn tồn tại
và khi đó ta định nghĩa A2 = AA. Tương tự, ta định nghĩa Ak+1 = Ak A với
k ≥ 0 và qui ước A0 = In
Ví dụ. Cho
1 −1
A=
0 −1
Tính A2 ; A3 và An với n là một số nguyên dương.
Lời giải. Ta có
2 1 −2
A = AA =
0 1
3 2 1 −3
A =A A=
0 1
Quan sát A2 , A3 ta dự đoán
n 1 −n
A =
0 1
Ta chứng minh điều này bằng quy nạp, thật vây, với n = 1 thì khẳng
định là đúng. Ta giả sử khẳng định đúng với n = k tức là có
k 1 −k
A = ,
0 1
lúc đó ta có
k +1 k 1 −k 1 −1 1 −(k + 1)
A =A A= = .
0 1 0 1 0 1
- 1.1 MA TRẬN 13
Do đó khẳng định đúng với n = k + 1 và vì vậy đúng với mọi n theo nguyên
lý quy nạp.
Định lý 1.1 (Các tính chất của các phép toán trên ma trận). Với mọi A, B, C ∈
Mm×n (R); λ, µ ∈ R ta có
1. A + ( B + C ) = ( A + B) + C;
2. A + B = B + A;
3. A + 0m×n = A;
4. A + (− A) = 0m×n ;
5. (λ + µ) A = λA + µA;
6. λ( A + B) = λA + λB;
7. (λµ) A = λ(µA);
8. 1A = A
Với mọi A ∈ Mm×n (R), l, p là các số nguyên dương ta có
1. AIn = A = Im A;
2. A0n× p = 0m× p , 0l ×m A = 0l ×n .
Với mọi A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn× p (R), C ∈ M p×q (R), λ ∈ R ta có
1. A( BC ) = ( AB)C;
2. λ( AB) = (λA) B = A(λB).
Với mọi A, B ∈ Mm×n (R), C, D ∈ Mn× p (R), ta có
1. A(C + D ) = AC + AD;
2. ( A + B)C = AC + BC.
Với mọi A, B ∈ Mm×n (R), C ∈ Mn×m (R), λ ∈ R, ta có
1. ( A T ) T = A; ( A + B) T = A T + B T ; (λA) T = λA T ;
- 14 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2. ( AC ) T = C T A T .
Bài tập
1. Cho
−3 −2
A= 4 7 ,
1 −5
5 0
B = −5 1 ,
−6 9
2 7
C = −8 0 .
11 −3
Tính
a) A + B − C; b) 2A − 7B; c) 3A + 5B − 2C.
2. Cho các ma trận
10 −7 5
A= ,
2 5 6
1 8 3
B= .
−2 7 0
Tìm ma trận X sao cho
a) A − X = B; b) 3B + 2X = A; c) 5X − 2A = 4B.
3. Cho 2 ma trận
11 −7 5
A= ,
3 5 6
4 0
B = −5 2 .
7 9
Tìm ma trận X sao cho
a) X − A + B T = 0; b) 3B T − 2X = 2A; c) 3X + A T − 2B = 0.
- 1.1 MA TRẬN 15
4. Cho hai ma trận
4 8 −1 3
A= ,
7 2 5 0
−1 7
3 5
B=
6
.
4
0 2
Tính AB và BA. Có kết luận gì về tính giao hoán của hai ma trận A, B.
5. Cho các ma trận
3 6
A= ,
−1 5
7 0 −2
B= ,
5 3 4
5 2
C= −2 0 .
3 4
a) Tính AB, BC; b) Tính A( BC ), và A( BC ). So sánh hai kết quả.
6. Cho các ma trận
0 1 2
A=
2 −1 3
,
1 −2
B= 2 0 .
−1 1
a) Tính AB;
b) Tính ( AB)3 .
7. Giả sử A là một ma trận vuông và f ( x ) = a0 + a1 x + · · · + an x n là một
đa thức hệ số thực. Ta ký hiệu f ( A) = a0 I + a1 A + · · · + an An .
Cho
1 2 3
A= 4 3 1
7 1 2
- 16 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
và đa thức f ( x ) = x2 + 2x + 5.
Tính f ( A).
8. Cho ma trận
a b
A= .
0 c
Tính An với n là một số nguyên dương.
1.2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
1.2.1. Ma trận bậc thang dòng (echelon matrix):
Là ma trận thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau đây
- Dòng có tất cả các phần tử bằng 0 (nếu có) luôn nằm phía dưới dòng có
phần tử khác 0 (nếu có);
- Đối với hai dòng bất kỳ, nếu tính từ trái qua phải, phần tử khác 0 đầu
tiên (nếu có) của dòng dưới luôn ở bên phải so với phần tử khác 0 đầu tiên
(nếu có) của dòng trên.
Ví dụ. Các Ma trận cấp sau
0 2 3 4
0 0 6 1
A=
0 0 0 −2
0 0 0 0
0 0 0 0
1 2 3 4 1
0 2 6 1 4
A=
0 0 −2 −2 6
0 0 0 −3 4
0 0 0 0 2
Là các ma trận bậc thang.
Câu hỏi: Ma trận 0 (cấp tùy ý), ma trận tam giác bất kỳ, ma trận đơn vị
có phải là ma trận bậc thang (dòng) không? Tại sao?
Ma trận bậc thang rút gọn (dòng): Ma trận bậc thang có các phần tử
khác không đầu tiên của mỗi dòng của dòng bằng một, và là phần tử khác
- 1.2 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 17
không duy nhất của cột chứa phần tử đó được gọi là ma trận bậc thang rút
gọn.
Phần tử khác không đầu tiên của một dòng của ma trận còn được gọi là
phần tử cơ sở của dòng đó.
Ví dụ. Các Ma trận cấp sau
0 1 0 0
0 0 1 0
A=
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
B=
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
Là các ma trận bậc thang rút gọn.
1.2.2. Các phép biến đổi sơ cấp dòng (BĐSC) trên các ma
trận (elementary row operations)
Đó là một trong ba phép biến đổi sau đây trên mỗi ma trận:
(E1): Đổi chỗ hai dòng cho nhau di ↔ d j .
(E2): Nhân một dòng với một số khác không di → a.di ( a ̸= 0).
(E3): Cộng vào một dòng một bội của dòng khác di → di + a.d j (a tùy ý)
Một ma trận nhận được bằng một phép biến đổi sơ cấp nào đó được gọi
là tương đương với ma trận ban đầu.
Tính chất quan trọng: Mọi ma trận khác không, sau một số hữu hạn
các phép BĐSC, đều đưa được về một ma trận bậc thang mà được gọi là
dạng bậc thang của ma trận ban đầu. Chú ý: Dạng bậc thang của mỗi ma
trận không duy nhất và thường có nhiều cách BĐSC để đưa một ma trận về
dạng bậc thang.
Cũng thế, mọi ma trận khác không đều đưa được về một ma trận bậc
thang rút gọn.
Ví dụ. Dùng các phép biến đổi sơ cấp biến đổi ma trận
nguon tai.lieu . vn
