Xem mẫu
- Bài giảng
TOÁN CAO CẤP A3
Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt
Video https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc
Ngày 17 tháng 9 năm 2020
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 1 / 113
- TOÁN CAO CẤP A3
Tài liệu
VP Khoa Công nghệ thông tin - Tầng 1
Thang điểm đánh giá
Quá trình 20%
Giữa kỳ 20%.
Thi cuối kỳ 60%
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 2 / 113
- TOÁN CAO CẤP A3
Nội dung môn học gồm 3 chương:
1 Tích phân bội
2 Tích phân đường
3 Phương trình vi phân
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 3 / 113
- Content
1 TÍCH PHÂN BỘI
Tích phân bội hai
Tích phân bội ba
2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Tích phân đường loại 1
Tích phân đường loại 2
3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm
Phương trình vi phân cấp 1
Phương trình vi phân cấp 2
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 72 / 113
- Content
1 TÍCH PHÂN BỘI
Tích phân bội hai
Tích phân bội ba
2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Tích phân đường loại 1
Tích phân đường loại 2
3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm
Phương trình vi phân cấp 1
Phương trình vi phân cấp 2
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 73 / 113
- TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
NỘI DUNG
1-1 Tích phân đường loại 1
1-2 Tích phân đường loại 2
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 74 / 113
- 1. Tích phân đường loại 1
NỘI DUNG
1 Bài toán mở đầu (tính diện tích hàng rào)
2 Định nghĩa tích phân đường loại 1
3 Các tính chất của tích phân đường loại 1
4 Phương pháp tính tích phân đường loại 1
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 75 / 113
- 1.1 Bài toán mở đầu (tính diện tích hàng rào)
Cho hàm số z = f (x , y ) ≥ 0 và đường cong C trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Hãy tính diện
tích của "hàng rào"dọc theo đường C và có chiều cao tại mỗi điểm (x, y) là f (x, y).
Hình:
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 76 / 113
- 1.1 Bài toán mở đầu (tính diện tích hàng rào)
Hình:
Diện tích của "hàng rào"cần tìm là
n
S ≈ ∑ f (xi , yi )∆li
i =1
Đây là tổng Riemann và khi lấy giới hạn tổng này khi ∆li → 0 ta được tích phân đường loại I.
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 77 / 113
- 1.2 Định nghĩa tích phân đường loại 1
Định nghĩa: Nếu f(x, y) là hàm số xác định trên đường cong trơn C = AB thì tích phân
đường loại I của f dọc theo C là
n
f (x , y )d ` = λlim ∑ f ( x i , yi ) · ∆ ` i
Z
AB →0 i =1
nếu giới hạn này tồn tại, với λ = max ∆`i
Chú ý
f (x , y )d ` = f (x , y )d `
Z Z
AB
d BA
d
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 78 / 113
- 1.3 Các tính chất của tích phân đường loại 1
AB 1d ` = L
R
1
AB α · f (x , y )d ` = α · AB f (x , y )d `
R R
2
f x y g x y d f x y d AB g (x , y )d `
R R R
3
AB [ ( , ) + ( , )] ` = AB ( , ) ` +
4 Nếu C = C1 ⊕ C2 thì
f (x , y )d ` = f (x , y )d ` + f (x , y )d `
Z Z Z
C C1 C2
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 79 / 113
- 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại 1
Đường cong L có phương trình tham số
Nếu đường cong L trong mặt phẳng có phương trình
x = x (t ), y = y (t ), với a ≤qt ≤ b thì:
Rb
f x y ds a f (x (t ), y (t )) (xt ) + (yt ) dt
0 2 0 2
RR
L ( , ) =
Nếu đường cong L trong không gian có phương trình x = x (t ), y = y (t ), z = z (t ) với
a ≤ t ≤ b thì: Z Z b
f (x , y , z )ds = f · (xt0 )2 + (yt0 )2 + (zt0 )2 dt
q
L a
Trong đó, f ≡ f (x (t ), y (t ), z (t ))
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 80 / 113
- 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại 1
Đường cong L có phương trình tham số
Ví dụ 24.
x = a cos t
I = z 2 dl y = a sin t ; a, b, c ∈ R, 0 ≤ t ≤ 3
R
Tính với (C) :
z = bt
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 81 / 113
- 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại 1
Đường cong L có phương trình tham số
Ví dụ 25.
Tính I = AB x2 − y2 dl, trong đó AB là cung phần tư của đường tròn x 2 + y 2 = 1, nằm
R
trong góc phần tư thứ nhất.
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 82 / 113
- 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại 1
Đường cong L có phương trình tham số
Ví dụ 26.
I = L xds . Trong đó, L là cung tròn có phương trình tham số:
R
Tính tích phân
x = cos t , y = sin t , π6 ≤t≤
π
3
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 83 / 113
- 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại 1
Đường cong L có phương trình tổng quát
Nếu L có phương trình y = y (x ) với a ≤ x ≤ b thì:
b
f (x , y )ds = f (x , y (x )) · 1 + (yx0 )2 dx
Z Z q
L a
Nếu L có phương trình x = x (y ) với a ≤ y ≤ b thì:
b
f (x , y )ds = f (x (y ), y ) · xy0 + 1dy
Z Z q 2
L a
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 84 / 113
- 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại 1
Đường cong L có phương trình tổng quát
Ví dụ 27.
Tính I = OA xdl , trong đó OA là cung parabol y = x2 2
O (0, 0) đến A(2, 2).
R
từ
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 85 / 113
- 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại 1
Đường cong L có phương trình tổng quát
Ví dụ 28.
Tính C (x + y )ds , C là biên tam giác với các đỉnh O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1)
R
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 86 / 113
- 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại 1
Đường cong L có phương trình tổng quát
Ví dụ 29.
I= L (x + y )ds vói L là ∆OAB có các đỉnh O (0; 0), A(1; 0), B (1; 2)
R
Tính tích phân
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 87 / 113
- 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại 1
Đường cong L có phương trình tổng quát
Ví dụ 30.
I= L (x − y )dl . Trong dó, L là đoạn thẳng nối điểm A(0; 2) và điểm
R
Tính tích phân
B (−2; −3).
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 88 / 113
nguon tai.lieu . vn
