Xem mẫu
- Bài giảng
TOÁN CAO CẤP A3
Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt
Video https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc
Ngày 17 tháng 9 năm 2020
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 1 / 113
- TOÁN CAO CẤP A3
Tài liệu
VP Khoa Công nghệ thông tin - Tầng 1
Thang điểm đánh giá
Quá trình 20%
Giữa kỳ 20%.
Thi cuối kỳ 60%
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 2 / 113
- TOÁN CAO CẤP A3
Nội dung môn học gồm 3 chương:
1 Tích phân bội
2 Tích phân đường
3 Phương trình vi phân
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 3 / 113
- Content
1 TÍCH PHÂN BỘI
Tích phân bội hai
Tích phân bội ba
2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Tích phân đường loại 1
Tích phân đường loại 2
3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm
Phương trình vi phân cấp 1
Phương trình vi phân cấp 2
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 4 / 113
- Content
1 TÍCH PHÂN BỘI
Tích phân bội hai
Tích phân bội ba
2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Tích phân đường loại 1
Tích phân đường loại 2
3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm
Phương trình vi phân cấp 1
Phương trình vi phân cấp 2
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 5 / 113
- TÍCH PHÂN BỘI
NỘI DUNG
1-1 Tích phân bội hai (kép)
1-2 Tích phân bội ba
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 6 / 113
- 1. Tích phân bội hai
NỘI DUNG
1 Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong)
2 Tích phân bội hai
3 Tính chất của tích phân bội hai
4 Phương pháp tính
5 Ứng dụng của tích phân hai lớp
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 7 / 113
- 1.1 Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong)
Xét hàm số z = f (x , y ) liên tục, không âm và một mặt trụ có các đương sinh song song với
Oz , đáy là miền phẳng đóng D trong mpOxy
Hình:
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 8 / 113
- 1.1 Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong)
Định nghĩa
Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau ∆Si , i = 1; n .
Diện tích mỗi phần cũng ký hiệu là ∆Si . Khi đó, khối trụ cong được chia thành n khối trụ
nhỏ. Trong mỗi phần ∆Si ta lấy điểm Mi (xi ; yi ) tùy ý và thể tích V của khối trụ là:
n
V ≈ ∑ f ( x i ; yi ) ∆ Si
i =1
Gọi di = max d(A,B ) | A, B ∈ ∆Si là đường kính của ∆Si .
Ta có:
n
V = lim
max di →0
∑ f ( x i ; y i ) ∆ Si .
i =1
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 9 / 113
- 1.2. Tích phân bội hai
Định nghĩa
Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền D đóng và bị chặn trong mặt phẳng Oxy .
Chia miền D một cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần
là ∆Si , i = 1; n .
Lấy n điểm tùy ý Mi (xi ; yi ) ∈ ∆Si , i = 1; n . Khi đó, In = ∑ni=1 f (xi ; yi ) ∆Si được
gọi là tổng tích phân của f (x , y ) trên D (ứng với phân hoạch ∆Si và các điểm chọn Mi .
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 10 / 113
- 1.2. Tích phân bội hai
Nếu giới hạn I = limmax di →0 ∑ni=1 f (xi , yi ) ∆Si tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào phân
hoạch ∆Si và cách chọn điểm Mi thì số thực I được gọi là tích phân bội hai của hàm số
f (x , y ) trên miền
RR D .
Ký hiệu: I = D f (x , y )dS
Chia miền D bởi các đường thẳng song song với Ox , Oy ta được ∆Si = ∆xi ∆yi hay
dS = dxdy
I= f (x , y )dS = f (x , y )dxdy .
ZZ ZZ
Vậy
D D
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 11 / 113
- 1.2. Tích phân bội hai
Nếu tồn tại tích phân D f (x , y )dxdy , ta nói hàm số f (x , y ) khả tích trên miền D ; f (x , y )
RR
là hàm dưới dấu tích phân; x và y là các biến tích phân.
Nhận xét
S (D ) = dxdy D)
ZZ
(diện tích của miền
D
Nếu f (x , y ) > 0, liên tục trên D thì thể tích hình trụ có RR
các đường sinh song song với Oz ,
hai đáy giới hạn bởi các mặt z = 0, z = f (x , y ) là V = D f (x , y )dxdy
Định lý
Hàm f (x , y ) liên tục trong miền D đóng và bị chặn thì khả tích trong D .
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 12 / 113
- 1.3. Tính chất của tích phân bội hai
Giả thiết rằng các tích phân dưới đây đều tồn tại.
Tính chất 1.
f (x , y )dxdy = f (u , v )dudv
ZZ ZZ
D D
Tính chất 2
[f (x , y ) ± g (x , y )]dxdy = fdxdy ± gdxdy
ZZ ZZ ZZ
D D D
D
kf (x , y )dxdy = k f (x , y )dxdy , k ∈ R
ZZ ZZ
D D
Tính chất 3. Nếu chia miền D thành D1 , D2 bởi đường cong có diện tích bằng 0 thì:
f (x , y )dxdy = f (x , y )dxdy + f (x , y )dxdy
ZZ ZZ ZZ
D D1 D2
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 13 / 113
- 1.4 Phương pháp tính
1.4.1 Đưa về tích phân lặp
a) Định lý (Fubini)
I= D f (x , y )dxdy tồn tại, trong đó
RR
Giả sử tích phân
D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1 (x ) ≤ y ≤ y2 (x )}
R y (x ) Rb R y (x )
và với mỗi x ∈ [a ; b ] cố định, y12(x ) f (x , y )dy tồn tại. Khi đó: I = a dx y12(x ) f (x , y )dy .
Tương tự, nếu miền D là:
D = {(x , y ) : x1 (y ) ≤ x ≤ x2 (y ), c ≤ y ≤ d }
Rd R x2 ( y )
thì I= c dy x1 (y ) f (x , y )dx
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 14 / 113
- 1.4.1 Đưa về tích phân lặp
Chú ý
1) Nếu miền D là hình chữ nhật, D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d } = [a ; b ] × [c ; d ]
Rb Rd Rd Rb
thì D f (x , y )dxdy = a dx c f (x , y )dy = c dy a f (x , y )dx
RR
2) Nếu D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b , y1 (x ) ≤ y ≤ y2 (x )} và f (x , y ) = u (x ) · v (y ) thì:
b y2 ( x )
f (x , y )dxdy = u (x )dx v (y )dy
ZZ Z Z
D a y1 ( x )
3) Nếu D = {(x , y ) : x1 (y ) ≤ x ≤ x2 (y ), c ≤ y ≤ d } và f (x , y ) = u (x ) · v (y ) thì
d x2 ( y )
f (x , y )dxdy = v (y )dy u (x )dx
ZZ Z Z
D c x1 ( y )
4) Nếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những miên đơn giản.
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 15 / 113
- 1.4.1 Đưa về tích phân lặp
Ví dụ 1.
0 ≤ x ≤ π2
I= D 4y xdxdy
3 sin 2 D là hình chữ nhật D :
RR
1≤y ≤2
Tính tích phân trong đó
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 16 / 113
- 1.4.1 Đưa về tích phân lặp
Ví dụ 2.
I= D xydxdy trong đó D là hình chữ nhật D : y = 2 − x 2 , y = x
RR
Tính tích phân
Hình:
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 17 / 113
- 1.4.1 Đưa về tích phân lặp
Ví dụ 3.
Cho I = D f (x , y )dxdy . Xác định cận tích phân lặp với miền D giới hạn bởi
RR
y = 0, y = 2x , x = a > 0
Hình: Chiếu lên trục Ox Hình: Chiếu lên trục Oy
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 18 / 113
- 1.4.1 Đưa về tích phân lặp
Ví dụ 4.
I= D 6xy
2 dxdy D = [0; 2] × [−1; 1]
RR
Tính tích phân Trong đó,
Ví dụ 5.
I= D (2x + y )dxdy Trong đó, D = {y ≤ x ≤ 1 − y , −2 ≤ y ≤ 0}
RR
Tính tích phân
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 19 / 113
- 1.4.1 Đưa về tích phân lặp
Ví dụ 6.
I= D ydxdy trong đó miền D giới hạn bởi các đường y = x + 2, y = x 2
RR
Tính tích phân
Hình:
h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 20 / 113
nguon tai.lieu . vn
