Xem mẫu
- Bài giảng
TOÁN CAO CẤP 1
(ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)
Chương 3 KHÔNG GIAN VECTƠ
Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt
Kêhnh video https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc
Ngày 8 tháng 11 năm 2021
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 1 / 64
- GIỚI THIỆU MÔN HỌC TOÁN CAO CẤP A1
Hướng dẫn cách học - chi tiết cách đánh giá môn học
Tài liệu, video bài giảng được đưa lên elearning hàng tuần. Sinh viên tải về, in ra và mang
theo khi học. Điểm tổng kết môn học được đánh giá xuyên suốt quá trình học
Điểm quá trình: 20%
Kiểm tra giữa kỳ: 20%
Thi cuối kỳ: 60%, thi trắc nghiệm 60 phút
Cán bộ giảng dạy
Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt
ĐT: 0933373432
Email: ncnhut@ntt.edu.vn
Zalo: 0378910071
Facebook: https://www.facebook.com/congnhut.nguyen/
Blog: https://nguyennhutblog.wordpress.com/
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 2 / 64
- Content
1 MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3 KHÔNG GIAN VECTƠ
Khái niệm không gian vectơ
Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Hạng của hệ vectơ
Không gian vectơ con
Cơ sở và số chiều
Tọa độ của vectơ trong cơ sở
4 DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 3 / 64
- Content
1 MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3 KHÔNG GIAN VECTƠ
Khái niệm không gian vectơ
Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Hạng của hệ vectơ
Không gian vectơ con
Cơ sở và số chiều
Tọa độ của vectơ trong cơ sở
4 DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 4 / 64
- Content
1 MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3 KHÔNG GIAN VECTƠ
Khái niệm không gian vectơ
Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Hạng của hệ vectơ
Không gian vectơ con
Cơ sở và số chiều
Tọa độ của vectơ trong cơ sở
4 DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 5 / 64
- KHÔNG GIAN VECTƠ
NỘI DUNG
3-1 Khái niệm không gian vectơ
3-2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
3-3 Hạng của hệ vectơ
3-4 Không gian vectơ con
3-5 Cơ sở và số chiều
3-6 Tọa độ của vectơ trong cơ sở
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 6 / 64
- 3.1 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTƠ
NỘI DUNG
1. Định nghĩa
2. Một số tính chất
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 7 / 64
- 3.1 Khái niệm không gian vectơ
Định nghĩa
Định nghĩa
Cho V ̸= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
+ : V ×V → V
(x , y ) 7−→ x + y
*: K × V → V
(λ, x ) 7−→ λ.x
sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 8 / 64
- 3.1 Khái niệm không gian vectơ
Định nghĩa
∀x , y , z ∈ V , ∀k , l ∈ K
1 x +y = y +x
2 x + (y + z ) = (x + y ) + z
3 ∃θ ∈ V : x + θ = θ + x = x
4 ∀x ∈ V , ∃(−x ) ∈ V : x + (−x ) = (−x ) + x = θ
5 (k + l )x = kx + lx
6 k (x + y ) = kx + ky
7 k (lx ) = (k .l )x
8 1.x = x
thì V được gọi là một K -không gian vectơ (K-kgvtt). Nếu K = R thì ta có không gian vectơ
thực, nếu K = C thì ta có không gian vectơ phức.
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 9 / 64
- 3.1 Khái niệm không gian vectơ
Không gian vectơ Rn
Xét Rn và hai phần tử α = (a1 , a2 , . . . , an ) , β = (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ Rn , k ∈ R.
Trong Rn ta xác định hai phép toán sau:
1 Phép cộng: α + β = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ).
2 Phép nhân vô hướng: k α = (ka1 , ka2 , . . . , kan ).
Ví dụ 1.
Cho α = (1, −1, 3), β = (0, 2, −2) ∈ R3 . Khi đó:
α + β = (1, −1, 3) + (0, 2, −2) = (1 + 0, −1 + 2, 3 + (−2)) = (1, 1, 1)
2α = (2, −2, 6)
(−1) β = (0, −2, 2)
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 10 / 64
- 3.1 Khái niệm không gian vectơ
Một số tính chất
Xét không gian vectơ Rn
1 Vectơ θ là duy nhất. Với mỗi vectơ α thì vectơ đối −α cũng là duy nhất.
2 Phép cộng có luật giản ước: với mọi α, β, γ ∈ Rn , nếu α + β = α + γ thì β = γ.
3 Với mọi k ∈ R và mọi α ∈ Rn thì k θ = θ, 0α = θ, (−1)α = −α.
4 Với k ∈ R và α ∈ Rn mà k α = θ thì k = 0 hoặc α = θ.
5 Với α ∈ Rn , α ̸= θ, k , l ∈ R thì k α = l α ⇔ k = l .
6 Với mọi k ∈ R và mọi α ∈ Rn thì (−k )α = k (−α) = −(k α).
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 11 / 64
- 3.2 TỔ HỢP TUYẾN TÍNH, ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ
THUỘC TUYẾN TÍNH
NỘI DUNG
1. Tổ hợp tuyến tính
2. Biểu thị tuyến tính
3. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 12 / 64
- 3.2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Tổ hợp tuyến tính
Định nghĩa
Xét không gian vectơ Rn . n ∈ N∗ , x1 , x2 , . . . , xn ∈ Rn , λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ R. Ta gọi
n
x= ∑ λi xi = λ1 x1 + λ2 x2 + . . . + λn xn là tổ hợp tuyến tính của x1 , x2 , . . . , xn .
i =1
Kiểm tra x là tổ hợp tuyến tính của x1 , x2 , . . . , xn hay không?
Giải hệ x = λ1 x1 + λ2 x2 + . . . + λn xn với ẩn λ1 , . . . , λn ∈ R.
Nếu hệ có nghiệm (duy nhất hoặc vô số nghiệm) thì x là tổ hợp tuyến tính của
x1 , x2 , . . . , x n
Nếu hệ vô nghiệm thì x không là tổ hợp tuyến tính của x1 , x2 , . . . , xn
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 13 / 64
- 3.2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Tổ hợp tuyến tính
Ví dụ 2.
Xét xem vectơ x = (1, 4, −3) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ
x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) hay không?
Giải.
λ 1 x1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 = x
2 −1 1 λ1 1 λ1 = 1
⇔ 1 1 1 λ2 = 4 ⇔ λ2 = 2
1 −1 −2 −3 λ3 = 1
λ3
Vậy vectơ x = (1, 4, −3) là tổ hợp tuyến tính của các vectơ
x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) và
x = x 1 + 2x 2 + x 3
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 14 / 64
- 3.2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Tổ hợp tuyến tính
Ví dụ 3.
Xét xem vectơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ
x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không?
Giải.
1 1 −2 4
2 3 3 3 h2 → h2 − 2h1
5 7 4 5
h3 → h3 − 5h1
−
−−−−−−−−→
1 1 −2 4 1 1 −2 4
0 1 7 −5 h3 → h3 − 2h2 0 1 7 −5
0 2 14 −15 −−−−−−−−−→ 0 0 0 −5
2 = r (A) < r (A) = 3. Hệ tương ứng vô nghiệm.
Vậy vectơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các vectơ
x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4)
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 15 / 64
- 3.2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Tổ hợp tuyến tính
Ví dụ 4.
Xét xem vectơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ
x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không?
Giải
1 1 −2 4 1 1 −2
3 2
h → h2 − 2h1 0 1 7 −5 h → h − 2h
4
h3 → h3 − 5h1
2 3 3 3 3 2
5 7 4 10 0 2 14 − 10 −−−−−−−−−→
−−−−−−−−−→
1 1 −2 4
0 1 7 −5
0 0 0 0
2 = r (A) = r (A) < n = 3.
Hệ tương ứng có vô số nghiệm (λ1 , λ2 , λ3 ) = (9 + 9t , −5 − 7t , t ), t ∈ R.
Vậy vectơ x = (4, 3, 10) là tổ hợp tuyến tính của các vectơ
x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) và
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 16 / 64
- 3.2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Biểu thị tuyến tính
Định nghĩa
Nếu vectơ v là tổ hợp tuyến tính của hệ gồm n vectơ x1 , x2 , . . . , xn thì ta nói v biểu diễn
tuyến tính (hay biểu thị tuyến tính) được qua hệ vectơ x1 , x2 , . . . , xn .
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 17 / 64
- 3.2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Phụ thuộc tuyến tính, Độc lập tuyến tính
Định nghĩa
Cho E là 1 K -kgvt, m ∈ N∗ , x1 , x2 , . . . , xm ∈ E . Ta nói:
1 Họ hữu hạn những vectơ {x1 , x2 , . . . , xm } là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi
tồn tại λ1 , λ2 , . . . , λm ∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho tổ hợp tuyến tính
∑mi =1 λi xi = λ1 x1 + λ2 x2 + . . . + λm xm = 0.
2 Họ hữu hạn những vectơ {x1 , x2 , . . . , xm } là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi tổ
hợp tuyến tính ∑m i = 1 λ i x i = λ 1 x 1 + λ 2 x2 + . . . + λ m x m = 0
⇒ λ1 = λ2 = . . . = λm = 0
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 18 / 64
- 3.2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Phụ thuộc tuyến tính, Độc lập tuyến tính
Kiểm tra các vectơ x1 , x2 , . . . , xm độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
Giải phương trình λ1 x1 + λ2 x2 + . . . + λm xm = 0 với những ẩn số λ1 , λ2 , . . . , λm ∈ R
(Phương trình này tương đương với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m ẩn trên R ).
Khi đó
Nếu hệ này có nghiệm duy nhất λ1 = λ2 = . . . = λm = 0 thì các vectơ x 1 , x 2 , . . . , xm
độc lập tuyến tính.
Nếu hệ có vô số nghiệm thì các vectơ x1 , x2 , . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 19 / 64
- 3.2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Phụ thuộc tuyến tính, Độc lập tuyến tính
Trường hợp x1 , x2 , . . . , xm ∈ Rn
Đặt A = x1T x2T . . . xm T và xác định r (A).
Nếu r (A) = m thì x1 , x2 , . . . , xm độc lập tuyến tính.
Nếu r (A) < m thì x1 , x2 , . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.
Trường hợp đặc biệt m = n
Ta có thể tính det(A) thay cho r (A).
Nếu det(A) ̸= 0 thì x1 , x2 , . . . , xm độc lập tuyến tính.
Nếu det(A) = 0 thì x1 , x2 , . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.
Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 20 / 64
nguon tai.lieu . vn