Xem mẫu
- Ch-3: Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier
Lecture-6
3.3. Chuỗi Fourier và tính chất
3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 3.3. Chuỗi Fourier và các tính chất
3.3.1. Chuỗi Fourier
3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier
3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 3.3.1. Chuỗi Fourier
jnω0 t 2
Xét tập tín hiệu: e ; n=0, ±1, ±2,.... và T0
ω0
t1 T0 t1 T0
jnω0 t jmω0 t jnω0 t jmω0 t m)ω0 t
Ta có: (e ,e )= e e dt = e j(n dt
t1 t1
1 m)ω0 t t1 T0 1
= e j(n = e j(n m)ω0 t1
[e j(n m)ω0T0
1] =0
j(n m)ω0 t1
j(n m)ω0
t1 T0
jnω0 t jnω0 t
Và: (e ,e )= e jnω0t e jnω0 t
dt T0 En
t1
Vậy tập tín hiệu trên là không gian tín hiệu trực giao.
Dùng kết quả phần trước ta có biểu diễn chuỗi Fourier cho f(t)
trong khoảng t1
- 3.3.1. Chuỗi Fourier
Chuỗi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn:
jnω0 t 1 t1 +T0
jnω0 t
Ta có: f(t)= Dn e với D n = f(t)e dt
n= T0 t1
chỉ đúng trong khoảng t1
- 3.3.1. Chuỗi Fourier
Ví dụ: tìm chuỗi Fourier biểu diễn cho TH tuần hoàn như hình vẽ
1
T
T1
6
1 T1 2T1 1
D0 = dt
T -T1 T 3
1 T1
jnω0 t 1 jnω0 t T1 1 jnω0T1
Dn = e dt e (e e jnω0T1 )
T -T1 jnω0 T T1
j2n
1 1 n 1 n
sin(nω0 T1 ) sin sinc
n n 3 3 3
1 n
f(t)= sinc e jnω0t
n= 3 3
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 3.3.1. Chuỗi Fourier
Chuỗi Fourier lượng giác: trong trường hợp f(t) là tín hiệu thực
f(t)=f * (t) f(t)= D n e jnω0t D*n e jnω0 t
D* n e jnω0t
n= n= n=
Dn D n
D*n D n
chuỗi Fourier được viết lại như sau:
f(t)=D0 (D n e jnω0t D ne jnω0 t
) =D0 (D n e jnω0t D*n e jnω0 t
)
n=1 n=1
f(t)=C0 Cn cos(nω0 t+θ n )
n=1
C0 =D0 ; Cn =2|Dn |; θ n Dn
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 3.3.1. Chuỗi Fourier
Phổ của tín hiệu tuần hoàn: chuỗi Fourier biểu diễn tín hiệu tuần
hoàn thành tổng các thành phần tần số. Phân bố giá trị của các
thành phần trên thang tần số gọi là phổ tần số (thường gọi là phổ)
tín hiệu. Trong trường hợp tổng quát người ta dùng phổ biên độ và
phổ pha.
1 n
Xét ví dụ trước: f(t)= sinc e jnω0t
n= 3 3
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier
Các tín hiệu tuần hoàn có năng lượng trong 1 chu kỳ hữu hạn đều
có thể biểu diễn bằng chuỗi Fourier (Dn hữu hạn & năng lượng sai
số bằng 0). Thực tế f(t) & chuỗi Fourier sẽ không có sự phân biệt
đối với các hệ thống vật lý vì chúng đáp ứng trên cơ sở năng lượng
Điều kiện Dirichlet: chuỗi Fourier hội tụ về giá trị trung bình tại
điểm gián đoạn
Điều kiện 1: |f(t)|dt< Dn hữu hạn
T
f(t)=1/t; 0
- 3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier
Điều kiện 2: có số cực đại và cực tiểu hữu hạn trong 1 chu kỳ
Ex: f(t)=sin(2 /t); 0
- 3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier
Hiện tượng Gibbs: phát hiện: nhà vật lý Michelson giải thích:
nhà toán học Gibbs
9% 9% 9%
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier
Tính tuyến tính:
f1 (t) D1n
f(t)=k1f1 (t)+k 2f 2 (t) D n =k1D1n k 2 D 2n
f 2 (t) D 2n
Phép dịch thời gian:
jnω0 t 0
f(t) Dn f(t t 0 ) e Dn
Phép đảo thời gian:
f(t) Dn f( t) D n
Phép tỷ lệ thời gian:
f(t) Dn f(at) Dn ; f(at)= D n e jnaω0t
n
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier
Nhân 2 tín hiệu:
f1 (t) D1n
f(t)=f1 (t)f 2 (t) Dn = D1k D 2(n-k)
f 2 (t) D 2n k=
Liên hiệp phức:
f(t) Dn f * (t) D* n
Định lý Parseval :
1
Pf |f(t)|2dt= |D n |2
T T
n=
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI
Xét hệ thống LTI với đáp ứng xung là h(t)
và f(t) là tín hiệu tuần hoàn thỏa điều kiện Dirichlet. Khi đó có thể
biểu diễn f(t) thành chuỗi Fourier là tổng của các thành phần TS ejn ot
f(t)= D n e jnω0t
n=
y(t)=f(t) h(t)= D n [e jnω0t h(t)]
n=
y(t)= Dn h(τ)e jnω0 (t τ) dτ = Dn h(τ)e jnω0 τ
dτ e jnω0t
n= n=
y(t)= Dn H(nω0 )e jnω0t H(ω)= h(t)e jωt
dt
n=
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI
Nhận xét về đáp ứng của hệ thống LTI với tín hiệu tuần hoàn
y(t) cũng được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier với các hệ số là
DnH(n 0) y(t) là tín hiệu tuần hoàn cùng tần số với f(t)
Các thành phần tần số khác nhau của f(t) khi qua HT LTI sẽ bị thay
đổi khác nhau về biên độ và pha tùy thuộc vào H( ) HT LTI
đóng vai trò là một bộ chọn lọc tần số; H( ): đáp ứng tần số.
Ví dụ: xác định chuỗi Fourier của ngỏ ra HT LTI có đáp ứng xung
h(t)=e-2tu(t) với ngõ vào f(t) như ví dụ phần 3.3.1 có T=
1 n jnω0 t 1
f(t)= sinc e ; H(ω)= h(t)e jωt
dt
n= 3 3 2+jω
1 n
y(t)= sinc e j2nt
n= 6(1+jn) 3
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
nguon tai.lieu . vn