1. Trang Chủ
  2. Toán học
  3. Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số: Phần 2

Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số: Phần 2

Nối tiếp phần 1, Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số: Phần 2 tiếp tục trình bày những nội dung về tích phân đường và mặt; tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai; tích phân mặt loại một; tích phân mặt loại hai; phương trình vi phân; phương trình vi phân cấp 1; phương trình vi phân cấp 2; hệ phương trình vi phân;... Mời các bạn cùng tham khảo! TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN SỐ PGS. TS. Phạm Ngọc Anh HÀ NỘI-20

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 72

Ngày tạo 4/6/2023 6:38:40 PM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 0.55 M

Tên tệp

Tải Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số: Phần 2 (.pdf)

Xem mẫu

  1. TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN SỐ PGS. TS. Phạm Ngọc Anh HÀ NỘI-2013
  2. Ch­¬ng 3. TÝ h ph©n ®­êng vµ mÆt 3.1. TÝ h ph©n ®­êng lo¹i 1. 3.1.1. §Þnh nghÜa. Cho hµm hai biÕn sè z = f (x, y) x¸ ®Þnh trªn ung g AB + Ph©n ho¹ h P ung g AB bëi n ®iÓm A = C0 , C1 , C2 , ..., Cn = B. Ký hiÖu ∆i lµ ®é dµi ¸ ung C^ i−1 Ci ∀i = 1, 2, ..., n vµ ∆P = max{∆1 , ∆2 , ..., ∆n }. + Chän mét ®iÓm tïy ý Mi ∈ C^ i−1 Ci . Khi ®ã n X σP = f (Mi )∆i i=1 ®­î gäi lµ tæng tÝ h ph©n ®­êng lo¹i 1 ña hµm g . NÕu giíi h¹n f (x, y) trªn ung AB I = lim σP ∆P →0 tån t¹i, kh«ng ph thué vµo php ph©n ho¹ h P vµ hän ®iÓm Mi , th× I ®­î gäi lµ tÝ h ph©n ®­êng lo¹i 1 ña hµm f (x, y) trªn ung g AB (hay ta ßn nãi f (x, y) kh¶ tÝ h trªn ung g) AB vµ R ®­î ký hiÖu lµ g tr¬n tõng khó ( ung f (x, y)ds. Ng­êi ta høng minh ®­î r»ng nÕu ung AB g AB x¸ ®Þnh hµm sè kh¶ vi liªn t tõng khó ) vµ hµm f (x, y) liªn t trªn g AB th× hµm sè f (x, y) kh¶ tÝ h trªn g. AB Dùa vµo ®Þnh nghÜa, ta ã ¸ tÝnh hÊt: 3.1.2. TÝnh hÊt. R R + f (x, y)ds = f (x, y)ds. g AB g BA R + g lµ ®é dµi ña 1ds = |AB| ung g. AB g AB R + NÕu ung g AB ã khèi l­îng riªng g = ρ(x, y) th× mAB g. ρ(x, y)ds lµ khèi l­îng ña ung AB g AB 3.1.3 C«ng thø tÝnh. a) Cung g AB ã d¹ng tæng qu¸t Tr­êng hîp 1: Cho ung tr¬n tõng khó g AB ã d¹ng y = ϕ(x) x ∈ [a, b] vµ hµm sè f (x, y) liªn t trªn ung g . Khi ®ã AB Z Zb p f (x, y)ds = f (x, ϕ(x)) 1 + ϕ′2 (x)dx. (3.1) g AB a 73
  3. Tr­êng hîp 2: Cho ung tr¬n tõng khó g AB ã d¹ng x = φ(y) y ∈ [c, d] vµ hµm sè f (x, y) liªn t trªn ung g . Khi ®ã AB Z Zd p f (x, y)ds = f (φ(y), y) 1 + φ′2 (y)dy. (3.2) g AB c Chøng minh: Ta høng minh ho tr­êng hîp 1, tr­êng hîp 2 lµ t­¬ng tù. Theo ®Þnh nghÜa, gi¶ sö Ci (xi , yi ), ∆xi = xi − xi−1 , ∆yi = yi − yi−1 ∀i = 1, 2, ..., n. Khi ∆xi ®ñ nhá, ta ã s p ∆yi ∆i ≈ Ci−1 Ci = (xi − xi−1 )2 + (yi − yi−1 )2 = ∆xi 1 − . ∆xi Theo «ng thø sè gia giíi néi ∆yi ϕ(xi ) − ϕ(xi−1 = = ϕ′ (ξi ) xi−1 ≤ ξi ≤ xi ∀i = 1, 2, ..., n. ∆xi ∆xi Khi ®ã n X n X p σP = f (Mi )∆i ≈ f (ξi , ϕ(ξi )) 1 − ϕ′2 (ξi )∆xi . i=1 i=1 §Æt ∆x = max{∆x1 , ..., ∆xn }. Khi ®ã Z n X p Z p b f (x, y)ds = lim f (ξi , ϕ(ξi )) 1 − ϕ (ξi )∆xi = f (x, ϕ(x)) 1 + ϕ′2 (x)dx. ′2 ∆x →0 i=1 a g AB R VÝ d 3.1. TÝnh tÝ h ph©n y 2ds, trong ®ã A(2, 0), B(0, 1). AB Bµi gi¶i. + Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AB ã d¹ng x y =1− . 2 + Theo «ng thø tÝnh (3.1) Z Z2 Z2 r √ Z2 √ 2 x p x 1 5 x 2 5 y ds = (1 − )2 1 + y ′2 dx = (1 − )2 1 + dx = (1 − ) dx = . 2 2 4 2 2 3 g AB 0 0 0 b) Cung g AB ã d¹ng tham sè trong mÆt ph¼ng Cho ung tr¬n tõng khó g AB ã d¹ng tham sè   x = x(t) g AB α ≤ t ≤ β. (3.3)  y = y(t) 74
  4. y x O πa 2πa 3πa H×nh 1: H×nh vÏ ña vÝ d 3.2 g . B»ng ¸ h yt′ vµ hµm sè f (x, y) liªn t trªn ung AB thay yx′ = x′t vµo «ng thø (3.2), ta ã Z Zβ p f (x, y)ds = f x(t), y(t) t + yt dt. x′2 ′2 g AB α R VÝ d 3.2. TÝnh tÝ h ph©n g y 2ds, trong ®ã AB lµ mét nhÞp ña ung y loide g AB   x = a(t − sin t) g AB a > 0, 0 ≤ t ≤ 2π.  y = a(1 − cos t) Bµi gi¶i. Theo «ng thø (3.3), ta ã Z Z2π 2 2 p ′2 y ds = a2 1 − cos t xt + yt′2 dt g AB 0 Z2π 2 √ √ = a2 1 − cos t a 2 1 − cos tdt 0 √ Z2π p = 2a3 (1 − cos t)5 dt 0 Z2π t = 8a3 sin5 dt 2 0 256a3 = . 15 ) Cung g AB ã d¹ng tham sè trong kh«ng gian R3 . 75
  5. Cho ung tr¬n tõng khó g AB ã d¹ng tham sè    x = x(t)    g AB y = y(t) α ≤ t ≤ β. (3.4)      x = z(t) vµ hµm sè f (x, y, z) liªn t trªn ung g. AB B»ng ¸ h hiÓu t­¬ng tù nh­ trong tr­êng hîp ung g AB trong mÆt ph¼ng, ta ã Z Zβ p ′2 f (x, y, z)ds = f x(t), y(t), z(t) xt + yt′2 + zt′2 dt. g AB α R VÝ d 3.3. TÝnh I= g (x2 + y 2 + z 2 )ds, trong ®ã AB lµ ®o¹n xo¾n ã ph­¬ng tr×nh tham sè g AB      x = a cos t,   g y = a sin t, AB      z = at, a > 0, 0 ≤ t ≤ 2π. Bµi gi¶i. Theo «ng thø (3.4), ta ã f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 = a2 (1 = t2 ) vµ p √ x′2 t + y ′2 t + zt ′2 = a 2. Do ®ã, Z2π √ I= a2 (1 + t2 )a 2dt 0 √ Z 2π = a 2 (1 + t2 )dt 3 0 √ 4 = 2 2a3 (1 + π 2 ). 3 d) Cung g AB ®­î ho d­íi d¹ng täa ®é ù bëi ph­¬ng tr×nh r = r(ϕ), ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 . 76
  6. Khi ®ã, Z Zϕ2 q f (x, y)ds = f r cos ϕ, r sin ϕ r 2 + rϕ′2 dϕ. (3.5) g AB ϕ1 VÝ d 3.4. TÝnh ®é dµi ®o¹n ong x¸ ®Þnh bëi   x2 + y 2 = cz, g OA   y = tan z , x c víi O(0, 0, 0), A(2, 2, 4). Bµi gi¶i. §Æt g ã d¹ng: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, khi ®ã ph­¬ng tr×nh ®o¹n ong OA z r 2 = cz, tan ϕ = tan . c Tõ 0 ≤ z ≤ 4, suy ra r»ng 0 ≤ ϕ ≤ ϕ4 . Do ®ã,    √   x = c ϕ cos ϕ,   OA y = c√ϕ sin ϕ, g      z = cϕ, víi 0 ≤ ϕ ≤ 4 . c Theo «ng thø (3.4) vµ tÝnh hÊt ña tÝ h ph©n ®­êng lo¹i 1, ®é dµi ung g ®­î tÝnh bëi OA Z g = |AB| ds g AB 4 Zc q = ϕ + yϕ + zϕ dϕ x′2 ′2 ′2 0 4 Zc  1 √  = c √ + ϕ dϕ 2 ϕ 0 √ 8 = 2 c(1 + ). 3c e) Täa ®é träng t©m ña d©y ung. Cho ung g AB ã khèi l­îng riªng x¸ ®Þnh bëi hµm sè f (x, y). Khi ®ã, täa ®é träng t©m G ña ung g AB ®­î ho bëi «ng thø :   R  1 xG =  m xf (x, y)ds, g AB (3.6)   1 R  yG = m yf (x, y)ds, g AB trong ®ã, m lµ khèi l­îng ña ung g. AB 77
  7. VÝ d 3.5. X¸ ®Þnh täa ®é träng t©m ña mét nhÞp ña ung y loide ®ång hÊt   x = a(t − sin t) g AB a > 0, 0 ≤ t ≤ π.  y = a(1 − cos t) Bµi gi¶i. Cung g AB lµ ®ång hÊt hay ta ã thÓ gi¶ thiÕt r»ng f (x, y) = c (h»ng sè). Theo «ng thø (3.6), täa ®é träng t©m g ®­î tÝnh bëi G ña ung AB   R R   x = 1 xf (x, y)ds = c xds = 4a ,  G m m 3 g AB g AB   1 R c R 4a  yG = m yf (x, y)ds = m yds = 3 . g AB g AB 3.2. TÝ h ph©n ®­êng lo¹i 2. 3.2.1. §Þnh nghÜa. Cho hµm v t¬ F~ = (P, Q, R) x¸ ®Þnh trªn ung g. AB Ng­êi ta ßn viÕt F d­íi d¹ng F~ = P~i + Q~j + R~k hay F (x, y, z) = P (x, y, z)~i + Q(x, y, z)~j + R(x, y, z)~k. Php ph©n ho¹ h g (P ) ung AB bëi ¸ ®iÓm A0 = A, A1 , ..., An = B. −−−−→ Chän Mi (xi , yi , zi ) ∈ A^ g i−1 Ai ⊂ AB víi mçi i = 1, 2, ..., n. Gi¶ sö r»ng Ai−1 Ai = (∆xi , ∆yi , ∆zi ). Khi ®ã, n X −−−−→ In = F~ (Mi )Ai−1 Ai i=1 ®­î gäi lµ tæng tÝ h ph©n ®­êng lo¹i 2 ña hµm v t¬ F~ trªn ung g AB x¸ ®Þnh bëi ph©n ho¹ h (P ). NÕu khi n→∞ sao ho max ∆xi : i = 1, 2, ..., n → 0, max ∆yi : i = 1, 2, ..., n → 0, max ∆zi : i = 1, 2, ..., n → 0, tæng tÝ h ph©n In dÇn tíi mét giíi h¹n x¸ ®Þnh I, kh«ng ph thué vµo php ph©n ho¹ h (P ) vµ php hän ®iÓm Mi , th× I ®­î gäi lµ tÝ h ph©n ®­î lo¹i 2 ña hµm v t¬ F~ trªn ung g AB vµ ký hiÖu Z I= P dx + Qdy + Rdz. g AB Theo ¸ h viÕt truyÒn thèng, ng­êi ta ßn viÕt d­íi d¹ng Z P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz. g AB 78
  8. Trong tr­êng hîp ®Æ biÖt khi ung g AB lµ ®­êng ong kÝn, tÝ h ph©n ®­êng lo¹i 2 trªn ung g AB ®­î viÕt I P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz. g AB 3.2.2. NhËn xt. Khi ung g AB trong mÆt ph¼ng täa ®é (Oxy), hµm v t¬ F~ = (P, Q), tÝ h ph©n ®­êng lo¹i 2 ña hµm F~ trªn ung g AB ®­î ký hiÖu bëi Z P (x, y)dx + Q(x, y)dy. g AB §Æ biÖt khi ung g AB lµ mét ®o¹n [a, b] nµo ®ã trªn R, hµm f : [a, b] → R, tÝ h ph©n ®­êng lo¹i 2 ña hµm f trªn g AB trë thµnh tÝ h ph©n x¸ ®Þnh. 3.2.3. TÝ h hÊt ¬ hä ña tÝ h ph©n ®­î lo¹i 2. §Ó tÝnh «ng sinh ra tõ mét ®iÓm M huyÓn ®éng dä theo ung g AB tõ ®iÓm A tíi ®iÓm B d­íi t¸ dng ña mét lù F~ = F~ (M), ta thù hiÖn php ph©n ho¹ h (P ) nh­ trong ®Þnh nghÜa trªn. Php hia ung g AB min tíi mø ta ã thÓ oi ung A^ i−1 Ai nh­ ®o¹n th¼ng, lù t¸ dng vµo hÊt ®iÓm trªn trªn ung A^ i−1 Ai kh«ng ®æi vµ b»ng F~ (Mi ). Khi ®ã, «ng sinh ra trªn ung −−−−→ A^ i−1 Ai xÊp xØ víi tÝ h v« h­íng F~ (Mi )Ai−1 Ai . VËy In x¸ ®Þnh bëi ®Þnh nghÜa trªn xÊp xØ víi «ng sinh ra trªn ung g. AB Do ®ã, gi¸ trÞ ña tÝ h ph©n ®­êng lo¹i 2 lim In hÝnh lµ «ng s¶n n→∞ sinh khi hÊt ®iÓm M huyÓn ®éng dä theo quü ®¹o g AB tõ ®iÓm A tíi ®iÓm B . 3.2.4. C¸ h tÝnh tÝ h ph©n ®­î lo¹i 2. Cho ung g tr¬n vµ x¸ ®Þnh bëi ph­¬ng tr×nh tham sè AB      x = x(t),   y = y(t), (3.7)        z = z(t), t : a → b, A x(a), y(a), z(a) , B x(b), y(b), z(b) . C¸ hµm sè g . Khi ®ã P = P (x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z) liªn t trªn AB Z Zb   P dx + Qdy + Rdz = P x′t + Qyt′ + Rzt′ dt. g AB a Chøng minh. Gi¶ sö ph©n ho¹ h (P ) trong ®Þnh nghÜa ®­î x¸ ®Þnh bëi t0 = a < t1 < t2 < ... < tn = b. 79
  9. Gäi xi = x(ti ), yi = y(ti ), zi = z(ti ), vµ Ai (xi , yi , zi ). Theo ®Þnh lý Lagrange, tån t¹i τi ∈ (ti−1 , ti ) sao ho      ∆xi = x(ti ) − x(ti−1 ) = x′ (τi )∆ti ,    ∆yi = y(ti ) − y(ti−1 ) = y ′(τi )∆ti ,     ∆zi = z(ti ) − z(ti−1 ) = z ′ (τi )∆ti ,  trong ®ã ∆ti = ti − ti−1 . Khi ®ã, ®iÓm Mi x(τi ), y(τi ), z(τi ) ∈ A ^ i−1 Ai vµ n X −−−−→ In = F~ (Mi )Ai−1 Ai i=1 n  X     = P x(τi ), y(τi ), z(τi ) x′ (τi ) + Q x(τi ), y(τi ), z(τi ) y ′ (τi ) + R x(τi ), y(τi ), z(τi ) z ′ (τi ) ∆ti . i=1 VÕ ph¶i lµ tæng tÝ h ph©n ña hµm sè    P x(t), y(t), z(t) x′ (t) + Q x(t), y(t), z(t) y ′(t) + R x(t), y(t), z(t) z ′ (t) trªn ®o¹n [a, b]. §Æt ∆P = max{∆ti : i = 1, 2, ..., n}. Cho ∆ti → 0, ta ã Z Zb   P dx + Qdy + Rdz = P x′t + Qyt′ + Rzt′ dt. g AB a R VÝ d 3.6. TÝnh I = (ydx + zdy + xdz), trong ®ã g : {x = a cos t, y = a sin t, z = a > 0, AB g AB bt, t : 0 → 2π}. Bµi gi¶i. Theo «ng thø (3.7), ta ã Z2π   I= a sin t(−a sin t) + bt(a cos t) + a cos t.b dt 0 Z2π   = − a2 sin2 t + ab(1 + t) cos t dt 0 Z2π Z2π a2 =− (1 − cos 2t)dt + ab (1 + t) cos tdt 2 0 0 = − πa2 . 3.2.5. Chó ý. Cho ung g ⊂ (Oxy) tr¬n vµ x¸ ®Þnh bëi ph­¬ng tr×nh tham sè AB   x = x(t), (3.8)  y = y(t), t : a → b. 80
  10. y y2 = x √ B 2 1 x O 2 −1 A H×nh 2: H×nh vÏ ña vÝ d 3.7 C¸ hµm sè g . Khi ®ã P = P (x, y), Q = Q(x, y) liªn t trªn AB Z Zb   P dx + Qdy = P x′t + Qyt′ dt. g AB a VÝ d 3.7. TÝnh Z x2 dx + xydy, g AB √ g : x = y 2 , A(1, −1), B(2, 2). trong ®ã AB Bµi gi¶i. Theo «ng thø (3.8), nÕu ung g : x = ϕ(y), y ∈ [a, b], AB tÝ h ph©n ®­êng lo¹i 2 ®­î x¸ ®Þnh 81
  11. bëi Z Zb   P dx + Qdy = P (ϕ(y), y)ϕ′y + Q(ϕ(y), y) dy g AB a √ Z2 = (y 42y + y 3 )dy −1 √ Z2 = (2y 5 + y 3 )dy −1 1 6 1 4
  12. 2 √ = ( y + y )
  13. 3 4 −1 37 = . 12 VÝ d 3.8. TÝnh I y 2dx − x2 dy, (E) x2 y2 trong ®ã a > 0, b > 0, (E) : a2 + b2 = 1. Bµi gi¶i. Ta huyÓn ®­êng elip (E) vÒ d¹ng tham sè. §Æt x = a cos t, y = b sin t víi t : 0 → 2π. Theo «ng thø (3.8), ta ã I Z2π   2 2 y dx − x dy = b2 sin2 t(−a sin t) − a2 cos2 t(b cos t) dt (E) 0 Z2π = −ab (b sin3 t + a cos3 t)dt 0 Z2π   ab =− b(3 sin t − sin 3t) + a(3 cos t + cos 3t) dt 4 0 ab  1 1 
  14. 2π
  15. =− b(−3 cos t + cos 3t) + a(3 sin t + sin 3t)
  16. 4 3 3 0 = 0. 3.2.6. C«ng thø Green. 82
  17. y C (D) D B A x O a b H×nh 3: H×nh vÏ ña Tr­êng hîp 1. Cho miÒn D trong mÆt ph¼ng R2 lµ mét miÒn liªn th«ng, bÞ hÆn vµ biªn ∂D lµ mét hay nhiÒu ®­êng ong kÝn tr¬n tõng khó . C¸ hµm sè P (x, y), Q(x, y) vµ ¸ ®¹o hµm riªng ña hóng liªn t trªn D ∪ ∂D . C«ng thø Green ®­î ph¸t biÓu nh­ sau: ZZ  I ∂Q ∂P  − dxdy = P dx + Qdy. ∂x ∂y D ∂D Chøng minh. Ta xt ¸ tr­êng hîp ña D nh­ sau: Tr­êng hîp 1. D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x)}. Theo ®Þnh lý Fubini, ta ã ZZ Zb yZ2 (x) ∂P ∂P − dxdy = − dx dy ∂y ∂y D a y1 (x) Zb   = P (x, y1(x)) − P (x, y2 (x)) dx a Z Z = P (x, y)dx + P (x, y)dx g AB g CD Z Z Z Z = P (x, y)dx + P (x, y)dx + P (x, y)dx + P (x, y)dx g AB ¯ BC g CD ¯ DA I = P (x, y)dx. (3.9) ∂D 83
  18. y (D2 ) (D5 ) (D4 ) (D1 ) . (D6 ) (D3 ) x O H×nh 4: H×nh vÏ ña Tr­êng hîp 1. B»ng ¸ h lµm t­¬ng tù, ta òng ã ZZ I ∂Q dxdy = Q(x, y)dy. (3.10) ∂x D ∂D Tõ (3.9) vµ (3.10) ko theo «ng thø Green ®­î høng minh. Tr­êng hîp 2. MiÒn (D) lµ miÒn ®a liªn. + Ta hia miÒn (D) thµnh ¸ miÒn nhá (D1 ), (D2 ), ...(Dn ) bëi ¸ ®­êng th¼ng song song víi tr Oy + Theo tr­êng hîp 1, «ng thø Green ®óng víi ¸ miÒn nhá (Di ) víi i = 1, 2, ..., n hay ZZ  I ∂Q ∂P  − dxdy = P dx + Qdy ∀i = 1, 2, .., n. ∂x ∂y Di ∂Di + Tæng ¸ tÝ h ph©n ®­êng ña P (x, y)dx + Q(x, y)dy trªn ïng mét d©y ung theo hai hiÒu ng­î nhau b»ng kh«ng. Do ®ã, ZZ  ZZ  ZZ  ∂Q ∂P  ∂Q ∂P  ∂Q ∂P  − dxdy = − dxdy + ... + − dxdy ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y D D1 Dn I I = P dx + Qdy + ... + P dx + Qdy ∂D1 ∂Dn I = P dx + Qdy. ∂D 84
  19. VÝ d 3.9. Dïng «ng thø Green ®Ó tÝnh tÝ h ph©n ®­êng sau I K= (xy + ex sin x + x + y)dx + (xy − e−y + x − sin y)dy, ∂C trong ®ã (C) : x2 + y 2 ≤ 2x. Bµi gi¶i. §Æt P (x, y) = xy + ex sin x + x + y, Q(x, y) = xy − e−y + x − sin y . Khi ®ã, ∂Q ∂P − = (y + 1) − (x + 1) = y − x. ∂x ∂y Theo «ng thø Green, ta ã ZZ K= (y − x)dxdy (C) π Z2 2Z cos ϕ = dϕ (sin ϕ − cos ϕ)r 2 dr − π2 0 π Z 2 = (sin ϕ − cos ϕ) cos3 ϕdϕ − π2 = −π. 3.2.7. §Þnh lý 4 mÖnh ®Ò t­¬ng ®­¬ng. Cho ¸ hµm sè P (x, y), Q(x, y) vµ ¸ ®¹o hµm riªng liªn t trªn miÒn ®¬n liªn D ⊂ R2 (miÒn kh«ng ã lç thñng nµo). Khi ®ã, ¸ mªnh ®Ò sau t­¬ng ®­¬ng: ∂Q ∂P (i) ∂x = ∂y ∀(x, y) ∈ D . H (ii) P dx + Qdy = 0 ∀D1 ⊂ D . ∂D1 R (iii) P dx + Qdy hØ ph thué vµo 2 ®iÓm g ⊂ D. A, B , víi mäi AB g AB (iv) Tån t¹i u(x, y) x¸ ®Þnh trªn D sao ho du = P dx + Qdy. Chøng minh. (i) ⇒ (ii) Gi¶ sö D1 ⊂ D , Theo «ng thø Green, D lµ miÒn ®¬n liªn vµ gi¶ thiÕt (i), ta ã I ZZ  ∂Q ∂P  P dx + Qdy = − dxdy = 0. ∂x ∂y ∂D1 D1 85
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học