1. Trang Chủ
  2. Toán học
  3. Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 - ThS. Lê Nhật Nguyên

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 - ThS. Lê Nhật Nguyên

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa; Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao; Đưa toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange. Mời các bạn cùng tham khảo! Chương 5: Dạng Toàn Phương Dạng Toàn phương --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Dạng toàn phương trong Rn là một hàm thực f : R n  R X  ( x1, x2 ,..., xn

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 24

Ngày tạo 4/6/2023 9:40:30 PM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 0.16 M

Tên tệp

Tải Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 - ThS. Lê Nh... (.pdf)

Xem mẫu

  1. Chương 5: Dạng Toàn Phương
  2. Dạng Toàn phương --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Dạng toàn phương trong Rn là một hàm thực f : R n  R X  ( x1, x2 ,..., xn )  R n : f ( X )  X T  A  X trong đó A là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận của dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc)  x1   2 3  Ví dụ. Cho x  A   x2    3 4  Khi đó ta có dạng toàn phương trong R2 T  2 3  x1  2 2 x Ax   x1 x2    x   2 x1  6 x x 1 2  4 x2  3 4  2 
  3. Dạng Toàn phương --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Dạng toàn phương trong R3 thường được ghi ở dạng f (x )  f ( x 1 , x 2 , x 3 )   A x12  B x 22  C x32  2 Dx 1x 2  2 Ex 1x 3  2Fx 2x 3 Ma trận của dạng toàn phương lúc này là ma trận đối xứng A D E M  D B F   E F C   Khi đó f(x) có thể viết lại f (x )  f ( x 1 , x 2 , x 3 )   A D E  x1   ( x1 x2 x3 )  D B F  x2   x T  M  x     E F C  x    3 
  4. Dạng Toàn phương --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ.  x1  x   x 2   R 3 :   x   3 f ( x)  3x12  2 x22  4 x32  4 x1x2  6 x1x3  2 x2 x3 Viết ma trận của dạng toàn phương. Giải  3 2 3  A 2 2 1     3 1 4     3 2 3   x1   f ( x)  xT Ax   x1 x2 x3   2 2 1   x2      3 1 4  x    3 
  5. Dạng Toàn phương --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho dạng toàn phương f ( x)  xT Ax, với x  ( x1 x2 x3 )T Vì A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa được bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D: A  PDP T Khi đó: f (x )  x T PDP T x  (P T x )T D (P T x ) Đặt y  P T x  x  Py Ta có f ( y )  y T Dy  1 0 0  y1   f ( y)  ( y1 y2 y3 )  0 2 0  y2     0 0 3  y    3   f ( y )  f ( y 1, y 2 , y 3 )  1 y 12  2 y 22  3 y 32
  6. Dạng Toàn phương --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Dạng toàn phương f ( y )  y T Dy được gọi là dạng chính tắc của dạng toàn phương f (x )  x T A x Dạng chính tắc là dạng toàn phương có các số hạng là các bình phương. Ma trận A là ma trận của dạng toàn phương f (x )  x T A x trong cơ sở chính tắc. Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phương f (x )  x T A x trong cơ sở tạo nên từ các cột của ma trận trực giao P. Khi làm việc với dạng toàn phương ta có thể làm việc với ma trận A, cũng có thể làm việc với ma trận D. Tất nhiên ma trận D có cấu trúc đơn giản hơn.
  7. Dạng Toàn phương --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Dạng toàn phương f (x )  x T A x luôn luôn có thể đưa về dạng chính tắc f ( y )  y T Dy bằng cách chéo hóa trực giao ma trận A của dạng toàn phương. Phép biến đổi này được gọi là phép biến đổi trực giao đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc. Còn có nhiều phương pháp đưa dạng toàn phương về chính tắc khác nhau: ví dụ phép biến đổi Lagrange (hay là phép biến đổi sơ cấp) Phép biến đổi trực giao phức tạp nhưng có ưu điểm là ta vẫn còn làm việc với cơ sở trực chuẩn (cơ sở từ các cột của ma trận P)
  8. Dạng Toàn phương --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao Bước 1. Viết ma trận A của dạng toàn phương (trong chính tắc) Bước 2. Chéo hóa A bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D Bước 3. Kết luận P T AP  D Dạng chính tắc cần tìm là: f ( y )  y T Dy Với D là ma trận của dạng toàn phương ban đầu trong cơ sở trực chuẩn từ các cột của ma trận trực giao P. T Phép biến đổi cần tìm: y  P x
  9. Dạng Toàn phương --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao. Nêu rõ phép biến đổi. f ( x1, x2 , x3 )  3x12  6x22  3x32  4x1x2  8x1x3  4x2 x3 1. Ma trận của dạng toàn phương là ma trận đối xứng:  3 2 4  A   2 6 2     4 2 3  
  10. Dạng Toàn phương --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Chéo hóa A bởi ma trận trực giao P (đã làm ở ví dụ trước)  1 1 2   2 18 3    7 0 0  4 P 0 1/ 3  D  0 7 0   18       0 0 2  1 1 2       2 18 3  2 2 2 3. Dạng chính tắc cần tìm là: f ( y 1 , y 2 , y 3 )  7 y 1  7 y 2  2 y 3 Phép biến đổi cần tìm: x  Py  x1   y1   x2   P  y 2      x  y   3  3
  11. Dạng Toàn phương --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đưa toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange. Phép biến đổi x = Py được gọi là phép biến đổi không suy biến nếu ma trận P là ma trận không suy biến. Nội dung của phương pháp Lagrange là sử dụng các phép biến đổi không suy biến đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc. Phép biến đổi này rất dễ thực hiện vì chỉ dùng các phép biến đổi sơ cấp, không cần tìm TR, VTR của ma trận. Nhược điểm của phép biến đổi này là ta sẽ làm việc với dạng chính tắc trong một cơ sở thường là không trực chuẩn.
  12. Dạng Toàn phương --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đưa toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange. 2 x Bước 1. Chọn một thừa số khác không của hệ số k Lập thành hai nhóm: một nhóm gồm tất cả các hệ số chứa x k , nhóm còn lại không chứa số hạng này. Bước 2. Trong nhóm đầu tiên: lập thành tổng bình phương. Ta có một tổng bình phương và một dạng toàn phương không chứa hệ số x k . Bước 3. Sử dụng bước 1, và 2 cho dạng toàn phương không chứa hệ số x k . 2 Chú ý: Nếu trong dạng toàn phương ban đầu tất cả các hệ số x k đều bằng 0, thì ta chọn thừa số khác 0 của hệ số x i x j Đổi biến: (k  i , j ) : y k  x k ; x i  y i  y j ;x j  y i  y j
  13. Dạng Toàn phương ------------------------------------------------------------------------------------------------ Ví dụ Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi Lagrange. Nêu rõ phép biến đổi. f ( x1, x2 , x3 )  3x12  6x22  3x32  4x1x2  8x1x3  4x2 x3 1. Chọn thừa số 3x 12 Lập thành hai nhóm: f ( x1 , x2 , x3 )  (3x12  4 x1 x2  8 x1 x3 )  (6 x22  3 x32  4 x2 x3 ) 4 8 f ( x1 , x2 , x3 )  3( x12  x1 x2  x1 x3 )  (6 x22  3x32  4 x2 x3 ) 3 3 Lập thành tổng bình phương đủ ở nhóm 1. 2 4 16 4 16 f  3( x1  x2  x3 )2  x2 x3  x22  x32  (6 x22  3 x32  4 x2 x3 ) 3 3 3 3 3
  14. Dạng Toàn phương ------------------------------------------------------------------------------------------------ 2 4 2 14 2 28 7 2 f  3( x1  x2  x3 )  ( x2  x2 x3  x3 ) 3 3 3 3 3 14 2 28 7 2 Lặp lại từ đầu cho dạng toàn phương: x2  x2 x3  x3 3 3 3 14 2 Chọn thừa số x2 3  14 x 2  28 x x   7 x 2 14 2 7 2 Lập 2 nhóm:  3 2 3 2 3  3 3  3 x2  2 x2 x3  x3 3   Lập thành tổng bình phương đủ ở nhóm đầu. 14 2 14 2 7 2 14 2  x2  x3   x3  x3   x 2  x 3   7x 32 3 3 3 3
  15. Dạng Toàn phương ------------------------------------------------------------------------------------------------ 2 4 14 2 f  3( x1  x2  x3 )2   x2  x3   7 x32 3 3 3 y 2 4  1  x1  x2  x3 3 3  Đặt:  y2  x2  x3 (*) y  x3  3  14 2 Vậy dạng chính tắc cần tìm là: f  3 y12  y2  7 y32 3 (*) là phép biến đổi cần tìm.
  16. Dạng Toàn phương ------------------------------------------------------------------------------------------------ Ví dụ Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi Lagrange. Nêu rõ phép biến đổi. f ( x1, x2 , x3 )  4x1x2  4x1x3  4x2 x3 2 1. Trong dạng toàn phương không có hệ số chứa x k Chọn một hệ số tùy ý chứa xmxn, ví dụ: 4x1x2  x1  y1  y2 Đổi biến:   x2  y1  y2  x y  3 3 f  4 y12  4 y22  4( y1  y2 ) y3  4( y1  y2 ) y3
  17. Dạng Toàn phương ------------------------------------------------------------------------------------------------ f  4 y12  8 y1 y3  4 y22  f  (4 y12  8 y1 y3 )  4 y22  f  4( y12  2 y1 y3 )  4 y22  f  4( y1  y3 ) 2  4 y22  4 y32  z1  y1  y3 Đổi biến:   z 2  y2  z y  3 3 2 2 2 Dạng chính tắc cần tìm là: f ( z1 , z2 , z3 )  4 z1  4 z2  4 z3  x1  z1  z2  z3 Phép biến đổi cần tìm:   x2  z1  z2  z3  x3  z3 
  18. Dạng Toàn phương --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Dạng toàn phương f (x) = xTAx được gọi là: 1. xác định dương, nếu (x  0) : f (x )  0 2. xác định âm, nếu (x  0) : f (x )  0 3. nửa xác định dương, nếu (x ) : f (x )  0 và (xi  0) : f ( xi )  0 4. nửa xác định âm, nếu (x ) : f (x )  0 và (xi  0) : f ( xi )  0 5. không xác định dấu, nếu (xi  x j ) : f ( xi )  0  f ( x j )  0
  19. Dạng Toàn phương --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giả sử dạng toàn phương đưa về chính tắc được: f ( y )  1 y 12  2 y 22  ...  n y n2 1. Nếu (k  1,.., n ) : k  0, thì dạng toàn phương xđ dương. 2. Nếu (k  1,..., n ) : k  0 , thì dạng toàn phương xđ âm. 3. Nếu (k  1,..., n ) : k  0 và k  0 , thì nửa xđ dương. 4. Nếu (k  1,..., n ) : k  0 và k  0 , thì nửa xđ âm. 5. Nếu 1  0; 2  0, thì dạng toàn phương không xác định dấu
  20. Dạng Toàn phương --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giả sử dạng toàn phương đưa về chính tắc được: f ( y )  1 y 12  2 y 22  ...  n y n2 Số các hệ số dương được gọi là chỉ số dương quán tính. Số các hệ số âm được gọi là chỉ số âm quán tính. Tồn tại rất nhiều phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc. Các dạng chính tắc này thường khác nhau. Có điểm chung của các dạng chính tắc là: số lượng các hệ số âm và số lượng các hệ số dương là không thay đổi. Luật quán tính Chỉ số dương quán tính, chỉ số âm quán tính của dạng toàn phương là những đại lượng bất biến không phụ thuộc vào cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học