Xem mẫu
- ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
ThS. Lê Nhật Nguyên
- Chương 1: Ma trận – Định thức – Hệ Phương Trình
Bài 1: Ma trận
1. Định nghĩa.
Cho các số nguyên dưương m, n. Ma trận A cỡ m n là
một bảng hình chữ nhật gồm m.n số aij (i=1,…,m;
j=1,…,n) đưược sắp thành m dòng, n cột:
a11 a12 a1n
a a22
a2 n a a
ij mn ij mn
21
A
am1 am 2 amn
- aij là phần tử (số hạng) nằm ở dòng thứ i, cột thứ j.
Khi m=1, A đưược gọi là ma trận dòng:
A a1 1 a1 2 a1 n
Khi n=1, A đưược gọi là ma trận cột
a1 1
a
A 21
a m1
Đặc biệt khi m=n=1, A gồm chỉ một phần tử:
A a1 1
Ta có thể đồng nhất A với phần tử đó.
- Ví dụ. 1
3 2 4 0 3
A 1 3 0 5 B C 2 0 0 3 4
2
2 1 1 3
0
0 0 0
D
0 0 0
2. Ma trận không. Là ma trận có tất cả các phần tử đều
bằng 0.
Ký hiệu: Omn hay O.
Ví dụ. 0 0
0 0 0 0 0
O23 O32
0 0 0 0 0
Nhận xét. Có nhiều ma trận không khác nhau.
- 3. Ma trận bằng nhau.
Hai ma trận A và B cùng cỡ mn gọi là bằng nhau nếu tất
cả các phần tử ở các vị trí tưương ứng bằng nhau.
Ký hiệu. A = B
Ví dụ. 3 2 4 0 3 2 4 0
A 1 3 0 5 E 1 3 0 5
2 1 1 3 2 1 1 3
A=E
So sánh O23 và O32 ?
O23 O32
- 4. Ma trận vuông.
Khi số hàng bằng số cột (m=n), A = [aij]n gọi là ma trận
vuông cấp n Đường chéo phụ
a11 a12 a1n
a a
a2n
A 21 22
an1 an 2 ann Đường chéo
chính
a11 a22 . . . ann
Một số ma trận vuông đặc biệt:
- 4. Ma trận vuông.
a) Ma trận đơn vị. Là ma trận vuông có các phần tử
trên đưường chéo chính bằng 1: a11 = a22 = . . . = ann =1
và tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng
0.
Ký hiệu. In hay I. 1 0 0
0 1 0
In
0 0 1
Hỏi: Viết các 1ma0trận
đơn vị
1 cấp
0 20 và cấp 3 ?
I2 I3 0 1 0
0 1
0 0 1
- 4. Ma trận vuông.
b) Ma trận đối xứng. Là ma trận vuông A aij
n
thỏa mãn: aij a ji với mọi i,j.
Ví dụ. 2 3 1
A 3 4 5
1 5 0
Nhận xét. Các phần tử đối xứng nhau qua đưường chéo
chính bằng nhau.
c) Ma trận phản đối xứng. Là ma trận vuông
A aij thỏa mãn: aij a ji với mọi i,j.
n
Hỏi: aii =?
aii = - aii 2 aii = 0 aii = 0 (i=1,2,…,n)
- 4. Ma trận vuông.
b) Ma trận phản đối xứng. Là ma trận vuông
A = [aij]n thỏa mãn: aij = - aji với mọi i,j.
Hỏi: aii =?
aii = - aii 2 aii = 0 aii = 0 (i=1,2,…,n)
Nhận xét. Các phần tử đối xứng nhau qua đưường chéo
chính đối nhau, các phần tử trên đưường chéo chính bằng
0.
0 2 3
Ví dụ.
A 2 0 1
3 1 0
- Bài 2: Các phép toán trên các ma trận
1. Phép cộng.
Cho các ma trận A aij và B bij cùng cỡ mn
mn m n
A B aij bij
Ví dụ. m n
1 0 3 2 1 4
A B
2 1 2 0 2 1
1 1 7 3 1 1
A B A B
2 3 3 2 1 1
- 2. Phép nhân một số với một ma trận.
Cho ma trận A aij cỡ mn và một số k
m n
kA kaij
m n
Ví dụ.
1 0 3 2 1 4
A B
2 1 2 0 2 1
2 0 6 6 3 12
2A 3B
4 2 4 0 6 3
8 3 6
2 A 3B
4 4 1
Tìm ma trận X sao cho 4X +3B =2A 2 3 3
1 4 2
4X = 2A-3B X (2 A 3B )
4 1 1 1
4
- 3. Phép nhân hai ma trận.
Cho A aij mn cỡ mn Số cột A = số hàng B
và B bij n p cỡ np. =n
Tích của A với B là ma trận AB C cij m p trong đó các
phần Tử cij đưược xác định như sau:
cij a i 1 b1 j a i 2 b 2 j a in b n j
Xét các ví dụ đặc biệt:
1
2 1 3 0
2.1 ( 1).0 3 .4 1 4
4
1 2
2 1 3 0 5 1 4 6
Hàng nhân cột
4 1
1 2
2 1 3 1 4 6
0 5
0
3
6 24 9
4 1
- 3. Phép nhân hai ma trận.
Cho A = [aij] mn cỡ mn Số cột A = số hàng B
và B=[bij]np cỡ np. =n
Tích của A với B là ma trận C = [cij] mp trong đó các phần
tử cij đưược xác định nhưư sau:
cij = a i 1 b1 j a i 2 b 2 j a in b n j
Ta có sơ đồ phép nhân:
b1 j
+ b
2j
cij
ai1 ai 2 ain bnj
- Ví dụ. Cho các ma trận
2 0
1 0 3 1 1
A B 3 1 C
2 1 2 2 3
1 4
Các ma trận nào có thể nhân đưược với nhau?
AB, BC, CA, BA
2 0 2 0 2 2
1 0 3 5 12 1 1
AB 3 1 BC 3 1
1 6
2 1 2 1 4 5 9 2 3
1 4 9 11
1 1 1 0 3 3 1 1
CA
2 3 2 1 2 4 3 12
2 0 2 0 6
1 0 3
BA 3 1
5 1 7
2 1 2
1 4 7 4 11
- Luỹ thừa của ma trận vuông A:
Nếu A là ma trận vuông cấp n và p là số tự
nhiên, ta định nghĩa luỹ thừa bậc p của ma trận
A, ký hiệu Ap , là ma trận vuông cấp n xác định
như sau:
A0 = In (A O),
A2 = A.A
A3 = A2.A =A.A.A
Ap = Ap-1A (p>1)
=A.A….A (p lần)
- Luỹ thừa của ma trận vuông A:
Ví dụ. 1 1
A
1 1
Tính 2
A , A , A 3 4
21 1 1 1 2 2
A 1
1 1 1 2 2
3 2 2 2 1 1 4 4
A A A
2 2 1
1 4 4
4 3 4 4 1 1 8 8
A A A
4 4 1
1 8 8
Tổng quát: p 1 p 1
p 2 2
A p 1 p 1
2 2
- Luỹ thừa của ma trận vuông A:
Ví dụ. 1 1
B
1 1 Tương tự tính B 2019
Tính B 2 , B 3 , B 4 , B 2 0 0 9
2 1 1 1 1 0 2 I.I=I
B
1 1 1 1 2 0 I.B=B
3 2 0 2 1 1 2 2
B B B
2 0 1 1 2 2
4 3 2 2 1 1 4 0 1 0
B B B 4 4 I 2
2 2 1 1 0 4 0 1
2009 = 502.4+1
B 2009 B 4.502 1 B 4.502 B ( B 4 )502 B 502
4 4502
(4 I )502 B (4)502 I B 4502 B 502 502
4 4
- 4. Chuyển vị ma trận
Cho ma trận A = [aij]mn cỡ mn. Ma trận cỡ n m có
đưược từ ma trận A bằng cách đổi hàng thành cột (cột
thành
hàng) gọi là ma trận chuyển vị của A, ký hiệu At.
1 2
Ví dụ. A 1 0 3 At 0 1
2 1 2
3 2
Nhận xét.
A đối xứng At=A
A phản đối xứng At=-A
- 4. Tính chất của các phép toán:
A, B, C, P, Q, R: các ma trận,
k, l: các số
(AP)R=A(PR)
(A+B)+C =
A(P+Q)=AP+AQ
A+(B+C)
(A+B)P=AP+BP
A+O=O+A=A
k(AP)=(kA)P=A(kP)
A+(-A)=(-A)+A= O
AI=A=IA
A+B=B+A
(A+B)t=At+Bt
k(A+B)=kA+kB
(kA)t=k(At)
(k+l)A=kA+lA
(At)t=A
(kl)A=k(lA)
(AP)t=PtAt
1A=A
- Bài tập
1. Cho các ma trận:
1 0 2 3 1 2 0 3 2 1 3 1
A 2 1 1 0 , B 0 4 1 2 , C 4 0 1 2
4 2 3 1 3 0 3 1 3 2 0 2
a) Tính (A+B)+C, (A+2B)-3C
b) Tính At , B t , C t , At B t C t
c) Tìm ma trận X cỡ 3x4 sao cho 2X-3A =2B
nguon tai.lieu . vn